6 



des Kegelschnittes eine Tangente an den Kreis legt. Die Länge 

 dieser Tangente ist dem verlangten Radius gleich. 



Der Ortskreis der Scheitel aller einem Kegelschnitt umschrie- 

 benen rechten Winkel ist für die Hyperbel also nur dann reell, 

 wenn ihre reelle Halbaxe a grösser ist als die imaginäre b. 



Denn ist (siehe Fig. 5 und 5a) MA die reelle und MB die 

 imaginäre Halbaxe einer Hyperbel und C der Fusspunkt der von M 

 auf AB gefällten Normale, so ist AC gleich dem Abstände des Mittel- 

 punktes von der Directrix und folglich CB gleich dem Radius des 

 um den Fusspunkt der Directrix zu beschreibenden Kreises. 



Die durch M gehenden Tangenten dieses Kreises können also 

 nur dann reell sein, wenn AC grösser als CB ist, was nur für die 

 erwähnte Voraussetzung gilt. 



Gleichzeitig folgt aus der Figur sofort, dass die Länge der 

 Tangente also der Radius des Ortskreises für a>b gleich MJ = 

 \f a? — 6 2 sich ergibt, während für die absolute Länge des Halb- 

 messers des imaginären Ortskreises im Falle a<J> ist, MJ z=z 

 \fb' L — a 1 resultirt. 



Noch einfacher ergeben sich diese Resultate wenn wir uns auf 

 den bekannten Satz stützen, dass die Fusspunkte der von einem 

 Brennpunkte auf die Tangenten des Kegelschnittes gefällten Senk- 

 rechten auf einem über der Hauptaxe als Durchmesser beschriebenen 

 Kreise je liegen. Aus diesem Satze folgt unmittelbar, dass der Durch- 

 messer des Ortskreises gleich ist der zur Asymptote parallelen, 

 durch einen Hyperbelbrennpunkt gehenden Sehne des Kreises je. 



In Fig. 6 ist MA>MB und die halbe Länge der zur Asym- 

 ptote parallelen Focalsehne des Kreises je, GD zzz \f MD* — MG 2 . 



Da infolge der Congruenz der Dreiecke BMF X und MGF X 

 MB = MG ist, so folgt: GD — Ya 2 —b\ 



In Fig. 6a ist die absolute Länge des Halbmessers r des ima- 

 ginären Ortskreises gleich der Länge GJ der von G an je gelegten 

 Tangente; daher: 



GJ= YGM 2 — JM*= \fh* — a\ 



2. Der Ortskreis eines Kegelschnittes 2 hat die bemerkens- 

 werte Eigenschaft, einen jeden, einem beliebigen Polardreieck von 

 2 umschriebenen Kreis rechtwinklig zu schneiden. *) 



*) Siehe J. Steiner's Vorlesungen über synthetische Geometrie, II. Theil, zweite 

 Auflage, pag. 184. 



