135 



(2) (abz x ) (abz 2 ) . . . (abz n ) . (bcx x ) (6ca? 2 ) . . . (bcx n ) X 



• ( ca yi) (c«y«) • • • ( c «y») = i 



Na každé straně utvořme si z průsečných bodů r (<; n) skupin 

 a sestrojme jejich body součinové na základě vrcholů trojúhelníka 



Z Y Z 2 ^3 • ' • Z v ? X í X 1 ' • • X r ) V\ y<i • • • yr * 



i patrno, že tyto vyhoví podmínce 



(2') (a&z/) OK') • • • iflbzr') \ (bcx x ř ) (bcx r ř ) . . . (bcx/) 



• ( Ca yi) ( ca yr) ■ • • O«*//) = 1 



t. j. body ty náležejí křivce stupně r. 



Kdybychom byli na př. rozdělili průseky každé strany s křivkou 

 ve dvě skupiny, byli bychom obdrželi sestrojením součinových bodů 

 na základě vrcholů trojúhelníka šest bodů téže kuželosečky. 



„Sestrojíme-li součinové body všech průseků každé strany troj- 

 úhelníka s křivkou, obdržíme tři body téže přímky." 



Imaginarné průseky přímek s reálnými křivkami vyskytují se 

 po dvou, a tu nevyhnutelně třeba zvlášť tyto „sdružené" body spo- 

 jovati v součinové, má-li konstrukce býti reálnou. 



Jakožto zvláštní případ uvedených vět obdržíme pro n — 3. 



Sestrojíme-li součinové body #, ?/, z průseků x x x 21 y x y^ z x z 2 stran 

 libovolného trojúhelníka s křivkou stupně třetího na základě vrcholů 

 tohoto, nalézají se tyto body součinové se zbývajícími průseky stran 

 ^31 #3? z 3 s křivkou na téže kuželosečce. 



Na základě této poznámky obdržíme dosti jednoduché řešení 

 následující úlohy: 



Pro křivku stupně třetího známe dvakráte tři průsečíky její 

 s dvěma přímkama L, M, další dva body (reálné neb pomyslné) 

 n^ a reálný bod devátý s; určiti průseky libovolné přímky vedené 

 bodem s s křivkou onou. 



Ěeš. Přímky dané LM tvoří s přímkou N určenou body n x n 2 

 (patrně vždy reálnou) trojúhelník; buďtež l x l^ m^m^ průseky těchto 

 přímek s křivkou ať již reálné neb pomyslně sdružené, dále l Z) m 3 

 třetí body průsečné vždy patrně reálné. 



Určíme-li si součinové body Imn bodů ř,ž 2 , m^, WjW 2 na zá- 

 kladě vrcholů trojúhelníka LMN t obdržíme pět bodů kuželosečky 

 lmnl 3 <m z , jež protíná přímku N v dalším bodě w 3 , který lze různými 

 způsoby sestrojiti. 



Libovolný paprsek vedený bodem s nazveme X a hledané jeho 

 průseky s křivkou x x x^ kdežto průsečíky téhož s přímkami £, iW, iV, 

 po řadě a, 6, c znamenati chceme. — V trojúhelníku LMX usta- 

 novme součinové body l', m' průsečíků l x l 2i m x m 2 ; kuželosečka stáno- 



