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Wenn r — n — 1 und k = n — 2 ist, so wird F n _ k + i eine 

 Regelfläche F 3 mit in # n -i zusammenfallenden Leitlinien also eine 

 Cayley'sche Regelfläche dritter Ordnung*); denn in diesem Falle 

 geht durch jeden Punkt von S n -i eine Erzeugende und in jeder 

 durch # n _x gehenden Ebene liegt offenbar auch nur eine Erzeugende 

 der F 3 . Hieraus folgt, dass man durch eine rationale Raumcurve 

 fünfter Ordnung und erster Gattung vier Cayley'sche Regelflächen 

 dritter Ordnung hindurchlegen kann. Denn sind PiP^PsPi die Schnitte 

 von C b mit £ 4 , so liefert die Projektivität y x ViV% n V'\V'iV\ eme 

 durch C 5 gehende Cayley'sche Regelfläche, und ebenso kann man 

 noch drei weitere Projektivitäten in ähnlicher Art herstellen. Dass 

 S 4 die Doppellinie dieser und aller durch die C 5 gehenden Regel- 

 flächen dritter Ordnung ist, ist selbstverständlich. Denn betrachten 

 wir umgekehrt die auf einer Regelfläche F 3 gelegenen Curven ra-ter 

 Ordnung C„; die Doppellinie D von F 3 sei eine x-fache, und die 

 einfache Leitlinie L von F 3 sei eine A-fache Sekante von C n . Da 

 mit D nur eine Erzeugende von F 3 in einer Ebene liegt, so muss 

 jede Erzeugende n — x Punkte von C n enthalten und da mit L je 

 ein Erzeugendenpaar in einer Ebene liegt und dieses Paar daher 

 n — A Punkte von C n enthalten muss, so haben wir n — K = 2(n — x) 

 oder 2>c — A = w, welche Gleichung nach a und K in ganzen Zahlen 

 (x(n) zu lösen ist. Jeder Lösung entspricht eine Gattung von C n 

 auf F 3 . Für n=:5 hat man nur die zwei Lösungen: a) n = 4 

 k =z 3 b) a = 3, A = 1. Die Gattung a) ist rational, dagegen die 

 Gattung b) vom Geschlechte 1. Die Erzeugenden von F 3 sind im 

 Falle ä) einpunktige Sekanten von C 5 , dagegen im Falle b) zwei- 

 punktige Sekanten, woraus folgt, dass der der Curve C 5 in 6) aus 

 einem beliebigen Punkte von D umschriebene Kegel fünften Grades 

 eine dreifache und zwei Doppelkanten hat, somit vom Geschlechte 

 1 ist. 



Die sämmtlichen Lösungen von 2% — A rz n erhält man, wenn 



man in x=zn — q , A := n — 2q die Werthe q = 1, 2, 3, . . . -*- bei 



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geradem n und q = 1, 2, . . . — 5 — bei ungeradem n einsetzt. Es 



Tb 



gibt somit auf einer Regelfläche dritter Ordnung — Gattungen von 



n \ 



Raumcurven ?&-ter Ordnung, wenn n gerade und — = — Gattungen, 



*) Cremona: Superficio gobbe del tcrz' ordinc. 



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