163 



Hier ist überhaupt das Punktsystem auf S 3 und jenes projektivische 

 auf C s perspektivisch mit dem Ebenenbüsche], dessen Axe S 4 ist. 



Je zwei #3 einer rationalen C n sind ebenfalls projektivisch 

 auf einander bezogen, da sie beide mit C n in projektivischer Bezie- 

 hung sind; bei der C s werden diese Projektivitäten auf zwei JS 3 ver- 

 mittelt durch das Büschel mit der Axe S 4 . 



Für n = 6 erhält man für jede S 3 eine Regelfläche F 4 vierter 

 Ordnung mit S 3 als einfachen Leitlinie; durch jeden Punkt x' von 

 S 3 geht eine Erzeugende x'x von F 4 und in jeder durch S 3 gehenden 

 Ebene liegen drei Erzeugende von F 4 , deren Schnittpunkte der 

 Doppelcurve von F 4 angehören, welche offenbar eine Raumcurve 

 dritter Ordnung C 3 ist, da nie ein solcher Schnittpunkt auf S 3 fallen 

 kann. Man erhält dieselbe F 4 , wenn man eine zweipunktige Sekante 

 einer räumlichen C 3 längs einer Geraden S hingleiten lässt (Involu- 

 tionsfläche einer cubischen Punktinvolution erster Stufe auf einer 

 cubischen Raumcurve). 



7. Durch eine rationale Raumcurve sechster Ordnung C 3 kann 

 man immer eine einzige Fläche dritter Ordnung hindurchlegen *). 

 Denn die durch irgend 19 Punkte auf C 6 bestimmte F 3 wird C 6 ganz 

 enthalten; und wenn ausser dieser F 3 noch eine zweite F' 3 durch C 6 

 ginge, so müssten F 3 und F' 3 noch eine C 3 gemeinschaftlich haben. 

 Nun sind aber die Curven C 6 , welche auf einer F 3 durch andere F\ 

 bestimmt werden, die durch eine auf F 3 liegende C 3 hindurchgehen, 

 nur entweder vom 18., 16., 14. oder 12. Range**); unsere C 6 ist 

 jedoch rational und daher vom Range 2 (6 — 1) = 10. Es ist folg- 

 lich durch unsere C s nur eine F 3 und vollkommen bestimmt. 



Die Fläche der Trisekanten der (7 6 ist eine Fläche 20. Grades 

 -P J0 ; denn durch jeden Punkt von C 6 gehen sechs Trisekanten, so 

 dass die Trisekanten auf C 6 ein symmetrisches Punktsystem zwölften 

 Grades bestimmen, welches mit der durch ein Ebenenbüschel auf C 6 

 bestimmten Involution 12 . (6 — 1) = 60 gemeinschaftliche Punkte- 

 paare besitzt, welche von Trisekanten herrühren, welche die Bü- 

 schelaxe schneiden; da nun jede solche Trisekante drei von jenen 

 Paaren absorbirt, so wird die Büschelaxe von 60 : 3 = Ú0 Trisekanten 

 geschnitten, d. h. die Fläche derselben ist vom zwanzigsten Grade. 

 Die C 6 ist selbstverständlich sechsfach für F 2Q . In dem Gesammt- 



*) Cremona, Preliminari di una teoria geometrica delle superficie, Bologna. 

 Deutsche Ausgabe von Curtze Nro. 242. 

 **) Rudolf Sturm: Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung 

 pag. 222. 



11* 



