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s Q = (ort/) (a"b") «A ; S = (a'«') {a" a") a x cc x ; <? = («'/?') (a"/?") a A ; 

 ř x = \a"b") (ab) a y 'b y ' ; £, = (a'a") (aa) a/< ; ^ == (a"/J") (a/S) «//V ; 

 s 2 = ( a 6) («'&') «/'&/' ; £ 2 = (aa) (ďď) a z "a/' ; cr 2 = (a/3) («'/?') a/'/5/'. 

 Ces covariants, combinés deux ä deux, donnent naissance ä ď au- 

 tres covariants quadratiques que nous représenterons par 



(«i, $)l» ($» **)í.l ( ď ň *ť)i« 



De plus, nous pourrons considérer les trois invariants 



h = ( S 1 *o)a í \ — Ol J <?l) 2 i ^2 — («2 » ^2)2 • 



Posons maintenant 



v = [(«o, ^o)ir+4(«o, ^0)1 k, «);, 



ř*/ = [(«1 , Gl)lY + 4 (« x , ^), fa , ^) x , 



v/ = [(s 2 , a^f -f 4 (s 2 , S 2 \ fa , flf,),. . 

 L'homographie définie par les équations 

 /=0, 9 = 0, 

 a trois groupes de quatre points de ramification représentés par 

 ř/ = 2 (s (7 ~-£ 2 ):=0, 



w/ = 2 (»!<?!— A! 2 ) == O, 



w» 4 = 2 (s 2 tf 2 -£ 2 2 ):=0. 

 Theoreme I. — Les íms formes biquadratiques l x 4 , w^ 4 , w ž 4 owř řes 

 memes invariants. 



L' homographie possede, en outre, six groupes de points doublen 

 qui sont représentés par les équations suivantes: 

 ■A-x — tx \J-2 — -A») — ^« — O ; A! x — lx (-A — A>) — Aß :z: O ; 



C, 4 =: n,«(^ — J,) — v, 4 = 0; C"* 4 =: w, 4 (7 — 7 2 ) - i/, 4 = 0. 

 Theoreme II. Ces quartiques se divisent en trois groupes de deux 

 formes qui ont les memes invariants. 



De plus, si T on représente par ä(^ 4 ) le hessien de L 4 , par 

 exemple, en a les identités suivantes: 



3Ä ( ?/) = 2 K# é , *o) 2 - (ßo , s \] W - 6 v ; 

 3A K 4 ) éé 2 [ft , ^) 2 - (^ , ^) a ] «1/ - 6^ 4 ; 



3Ä ( n z 4 ) = 2 [(«, , (? 2 ) 2 — (Ä, , £ 2 ) 2 ] nS — 6v : 



4 . 



* j 



Theoreme III. Les groupes de points doubles sont donc^ en général, 

 représentés par une équation de la forme. 



f-t-hhz=Q. 



Nous allons appliquer ces différents résultats aux cubiques. Nous 

 avons fait voir, ailleurs, *) que si 1' on prend arbitrairement trois 



*) V. notre Note insérée aux C. R. t. XCIII. p. 509. et. plus specialemeut, la 

 2de. partie de notre Memoire mr les Courbea du 3me ordre publié en commun 

 avec M. Folie. 



