343 



ausgedehnt wird. Es müssen also in den elementaren, symmetrischen 

 Functionen der Grössen : 



F{x x y\ F(x 2 y),...F(x n y) 

 alle höheren als ersten Potenzen von y fortfallen, wenn man für die 

 symmetrischen Functionen der x x ihre Werte aus 5) einführt. Insbe- 

 sondere muss also in einer solchen elementaren, symmetrischen Fun- 

 ction der Coěfficient der höchsten Potenz von #, der im Allgemeinen 

 nicht Null wäre, hier verschwinden. Diesen Coefficienten aber erhält 

 man, wenn man für die symmetrischen Functionen der x % solche Aus- 

 drücke in y setzt, wie sie durch 



gegeben sind und von F(xy) nur die Glieder höchster Dimension 

 d. i. also f beibehält. Die elementaren, symmetrischen Functionen 

 der Grössen: 



wenn man jetzt unter x x eine Wurzel von 



98, =0 

 versteht, enthalten, da wir hier es nur mit homogenen Functionen 

 zu thun haben, ein einziges Glied, das eine bestimmte Potenz von 

 y ist; der Coěfficient dieses Gliedes ist aber nach dem Früheren Null. 

 Also sind die erwähnten elementaren, symmetrischen Functionen 

 sämmtlich Null. Das heisst aber : Jeder lineare Factor von gg, muss 

 auch ein Factor von f sein, in einer noch zu bestimmenden Potenz. 

 Da aber f schon g enthält. g t aber mit g keinen Theiler mehr ge- 

 mein hat und in lauter verschiedene Linearfactoren zerfällt, so muss, 

 wenn c eine passend gewählte Constante ist: 



/o = c 881 = ^0 — c Vo oder 



Damit ist der erwähnte Satz bewiesen und wir können die Gleichungen 

 1) schon so voraussetzen, dass G von der Dimension n sei, F von 

 der Dimension p und p<.n. Für diesen Fall aber können wir die- 

 selbe Schlussweise wie eben anwenden uud erhalten daher den Satz : 

 Ist g das Aggregat der Glieder höchster Dimension in G vom Grade 

 n, f dasjenige von F vom Grade p, p <L rc, so ist jeder Factor (lineare) 

 von / auch ein Factor von g und umgekehrt. Dabei bleibt es aber 

 noch unbestimmt, in welcher Potenz jeder lineare Factor in der einen 

 oder anderen homogenen Form g oder f erscheint. Dies lässt sich 

 näher durch die Sätze über symmetrische Functionen folgendermas- 

 sen ermitteln. 



