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Hat man eine symmetrische Function der Grössen: 



so dass alle ihre Glieder aus einem einzigen von ihnen dadurch her- 

 vorgehen, dass man auf dasselbe alle Permutationen der x anwendet, 

 so ist eine -solche symmetrische Function, wenn sie von überflüssigen 

 Zahlenfactoren befreit ist, eine ganze, ganzzahlige Function der 

 elementaren symmetrischen [Functionen der #, die wir mit /, .f p be- 

 zeichnen; so dass also: 



A>ft 



Nun kann man die einzelnen Glieder von bis auf ihre ganzzahligen 

 Coefficienten folgendermassen angeben. Wählt man aus der sym- 

 metrischen Function der x diejenigen Glieder heraus, in welchen x v 

 zur höchstmöglichen Potenz ^erscheint, unter diesen Gliedern wieder 

 diejenigen, wo x 2 zur höchst möglichen Potenz k 2 erscheint usw., so 

 gelangt man schliesslich zu einem Gliede: 



■ kl a?,* 2 . . . x k v 



fl = 



p 



x l 



/.- 





x x x n, 



/ = 



J p 



p 

 : n 



X X 

 1 



'1 ^1 



p 



wo k x ^ k 2 ^ k 3 . . . ^ k p . Offenbar hat die Entwicklung von 



wenn man für die / die x setzt, das obige Glied. Daraus schliesst 

 man, ist t eine ganze Zahl, grösser wie \ und sucht man alle Wert- 

 systeme ki . . . V auf wo : 



V ^ V ^ V • • • ^ V 



und 



V + K ' + ••• + V = K + K + • . • + K = ' 



oder bei Zugrundlegung eines Zahlsystems, dessen Grundzahl t ist: 

 sucht man alle diejenigen Zahlen dieses Systems: 



k x 'čp- 1 -f V#>- 2 + • • • + V 

 auf, wie sie ihrer Grösse nach aufeinanderfolgen und deren Quer- 

 summe = r ist, so erhält man eine endliche Anzahl von Werthsyste- 

 men k' und es können in nur Glieder von der Form: 



efi* 1 '-**' •••fn kpt 

 vorkommen, wo c eine ganze Zahl, im speciellen Falle auch Null 

 sein kann. Die höchste^ Potenz, in welcher /„ in vorkommen kann, 

 sei A. Dann müssen k y , & 2 , ... entweder alle gleich sein A, wo dann: 

 lp = r, oder möglichst wenig grösser. Das heisst : die höchste Potenz 



