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Bei allen diesen Untersuchungen warp>l. Ist p = 1, so hat 

 man, abgesehen von linearen Substitutionen nur das eine Gleichungs- 

 system : 



n~y 



wo ý , g v beliebige, ganze rationale Functionen von y sind. 



Kehren wir zur früheren Aufgabe zurück. Es sei: 

 G(xy)=zg Q -\-g x +.., -\- g n 



F(xy)=f +/, + ,.. -f/ p , n=rfy 



gi ist eine homogene Form vom Grade (n — K) in x und y, 

 /a eine solche vom Grade (p — X). Nun ist g durch f theilbar, also 

 9 n =fo 7l ; setze ich 



9i=9n J rfA 

 9z=9<n^fih 



9p ~ 9v\ + (fp — V) h o i al S° : 



G(xy) = (i^J — 7))h -\-g li +ff il + ... + g Pl -\- g P +x + ... + #, 

 = (TfayJ — a?)ä -f tf^J so ist 



n[š-G(x x y)] = n(š-G,(x x y)] 



■ Es müssen also alle höheren Potenzen von y als die ersten 

 in den elementaren symmetrischen Functionen der Grössen: 



G x (x x y), ..G x (x p y) 

 verschwinden. Das heisst aber nach einer schon angewandten Schluss- 

 weise: die Glieder höchster Dimension in G u d. i. also g xx muss 

 alle von einander verschiedenen Linearfactoreu von/ enthalten. / hat 

 aber lauter verschiedene Linearfactoren, also ist g n durch /„ theil- 

 bar; also: 



9ii=foh- 

 Nun kann man genau so weiter schliessen; ich setze 



G(xy) = [F(xy) — ri\(h +h l )+g 22 -\-..-\-g H , 

 wo <7 22 vom Grade (n — 2) ist. Aus demselben Grunde muss g 22 

 durch f theilbar sein usw. Bei den Formen g k , deren Grad kleiner 

 als p ist, wird g kk Null. Man erhält also schliesslich: 



G (xy) — [F(xy) — rj] G (aj, y\ n) + Gh-i (», 2/, y), 

 wo G eine ganze Function von x, y, y ist und 6r w _i ebenfalls, aber 

 von der Dimension 1 in Bezug auf cc, y. Denn soweit kann man den 

 Schluss wiederholen, von da ab aber nicht mehr, da ja die Resul- 

 tante linear in y ist. 



