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0i(!i?) = c oŠ + g(y), 



wo c von Null natürlich verschieden ist und g eine ganze Function 

 von f] allein ist. Nun besteht aber Folgendes für jedes Gleichungs- 

 system 1). Die Function: 



fc[0(*y), ^fcy)] 8) 



kann nur für solche endliche Werthepaare x Q y verschwinden, für 

 welche: . | = G(x y ), rj = F(x y ) und 



G{xy)-1~ Q , F{xy)-r} 9) 



einen gemeinsamen Theiler in a?, y haben. Denn da x y endlich 

 sind, so muss nicht nur g x (| , í/ ), sondern auch g 2 (| , »/„) und 

 g 3 (Í i] ) verschwinden. Daraus folgt aber, dass überhaupt Werthe- 

 paare | ?7 dieser Eigenschaft existiren müssen. Denn sonst wäre der 

 Ausdruck 8) eine Constante und es erhielte also G{xy) für alle Werthe- 

 paare xy, für welche F(xy) denselben constanten Werth hat, nur eine 

 endliche Anzahl verschiedener Werthe, was nicht sein kann. Also : Jeder 

 irreductible Factor der Function (8) ist ein gemeinsamer Theiler von: 

 G(xy) — | , F(xy) — rj 01 



w0 lo> ^o em passend gewähltes Werthsystem ist. Die Anzahl der 

 letzteren ist gleich oder kleiner als die Anzahl der irreductiblen 

 Factoren des Ausdrucks (8). 



Dies auf unseren Fall p — 2 angewendet, folgt zunächst aus der 

 Gleichung: 



G(xy) - [F(xy) - ,] G f g (ax + ßy) + (7, 



dass die gemeinsamen Theiler der Functionen (9) nur die Form haben 

 können: 



KX + ßy + v- 



Bei passendem rj muss also sein: 



Fixy) — t} = (ax + ßy + y)(a i x-\ r ß 1 y-{-y i ) 

 oder F(x l y i )—f] — x í y í 



so dass x x der gemeinsame Theiler von: 



G( x \ U\ ) : — lö und F ( x iyi) — Vo ist. 



Nun muss für | == | , rj=zr] , g l (^iq) verschwinden; man kann 

 also schreiben: 



9i (&) — c o (I — lo) + in — Vo)7(y)> 



Nach Einsetzung von I^G^yj), t\ — F(x i y i ) muss aber dieser 

 Ausdruck blos cc, enthalten. Aus r\ — rj Q sondert sich aber auch der 

 Factor y x ab. Es muss also: 



c o G ( x \V\) = GrA x i) — 9 [* (PM)] sein. 



