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p 2 » Vz - - • P»' Es können daher für p u p 2 , p 3 . . . p n die Verhältniss- 

 zahlen v ly v 2 , v 3 . . . v n , wenn p t : p 2 : p 3 : . . . '• Pn = «i "• v 2 : v 3 : . . . : v n 

 ist, gesetzt werden. 



Für gleiche Flächeninhalte der Dreiecke des Polygons ist v x z=z 

 v 2 =z v 3 — . . . = i>„, daher : 



X — Xy — — * ' ' ^ und 



F _ yi + Vi +y 8 + • • ■ +y« 



n 



d. i. M von Sj, s 2 , s 3 • • • s » ist zugleich S. 



Für ungleiche Flächeninhalte der Dreiecke können wir die 

 Gl. 4) auch so schreiben: 



^ x x -J- x x -f- x x . . . Vj mal -f- x 2 -f- x 2 -f- x 2 . . . v 2 mal -f- . . . 



Jí — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ^— 



und 



Y = V\ + Vi + Vx • • • v i mal + Vi + Vi + y 2 . . ■ *> 2 mal -4- . 



wenn v, -4- v 2 4~ v 3 • • • + v » = w gesetzt wird. 



Diese Relation sagt uns, dass X und Y die Coordinaten des M 

 eines Polygons für so viele Punkte seien, als die Summe der Ver- 

 hältnisszahlen der Gewichte es anzeigt, und dass wir uns in den 

 Örtern s x s 2 s 3 . . . *„, v x v 2 v 3 . . . v n zusammenfallende Punkte zu denken 

 haben; es ist also in beiden Fällen, ob bei Bestimmung des M oder S, 

 für verschiedene Gewichte der Punkte resp. Schwerpunkte der Drei- 

 ecke die Aufgabe zu lösen, wie man M eines solchen Polygons findet. 



Um wieder Figuren zu vermeiden, denken wir uns, von irgend 

 einer Ecke des Polygons angefangen, die Numerirung von 1 fort- 

 laufend, u. z. für zusammenfallende Punkte zwei Zahlen, von wie 

 vieltem bis incl. zu wie vieltem Punkte. 



Also : 1, 2, 3—6, 7 — 24 eines 24 = 4.6eckes sind 1 und 2 ge- 

 trennt, jeder vom Gewichte 1, 3—6 der dritte Punkt vom Gewichte 4, 

 in dem vier Punkte und 7—24 der vierte Punkt vom Gewichte 18, 

 in dem 18 Punkte zusammenfallen. 



Haben wir unserer allgemeinen Regel zur Auffindung des M 

 nach es nothwendig, zusammenfallende Punkte zu trennen, finde ich 

 es für zweckmässig, folgende Bezeichnungsart einzuführen. 



Für das vorerwähnte Beispiel eines 24eckes, wenn wir sech- 

 Vierecke wählen, haben wir von 3—6 zwei Punkte zu 1 und 2 zu 

 trennen und die andern zwei zu 7—24 zuzuschlagen. Die getrennten 

 Punkte haben dennoch ihren Ort, hier 3—6, zu behalten. Gleichs 



