ПРОБЛЕМА-МИНИМУМЪ ВЪ УЧЕНШ О МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. 5 1 



Изъ этой таблицы мы видимъ, что вообще съ увеличешемъ числа 

 граней характеристичный величины мезосФерическихъ многогранниковъ 

 приближаются къ тт>мъ, который относятся къ шару. Наиболее правиль- 

 ною последовательностью въ этоиъ отношенш отличаются числа, относя- 

 щаяся къ величинамъ поверхности, какъ абсолютной то есть описанной 

 около шара съ радгусомъ, равнымъ 1-цЬ, такъ и относительной. Но и въ 

 этомъ столбце имеются неболыше скачки. Замечается неравенство поверх- 

 ностей даже при одинаковомъ числе граней, Въ этихъ посл'Бднихъ случаяхъ 

 меньшая поверхность принадлежишь тому многограннику, коего грани съ 

 большимъ числомъ сторонъ. 



Рад1усъ описаннаго шара при большомъ числе граней весьма прибли- 

 жается къ 1-цт, то есть къ рад1усу вписаннаго. Особенно это заметно на 

 притупленномъ икосаэдре изъ 32-гранниковъ и загвмъ во всбхъ много- 

 гранникахъ, число граней которыхъ не меньше 60. Но и въ отношенш 

 величины этого рад1уса большее приближение его къ 1-цЬ при равномъ 

 числ-Ь граней замечается у того многогранника, у коего грани съ большимъ 

 числомъ сторонъ. 



Теперь перейдемъ къ разсмотр'вщю свойства минимальности относи- 

 тельныхъ поверхностей мезосФерическихъ многогранниковъ, разсматри- 

 ваемыхъ какъ особый членъ ряда типическихъ изоэдровъ и подтипическихъ 

 изогоновъ. 



Въ этомъ отношенш всЬ перечисленные многогранники разделяются 

 на две группы, изъ которыхъ въ одну соединяются те, у изоэдровъ кото- 

 рыхъ центральные (у соотвътственныхъ изогоновъ центральные дополни- 

 тельный) гоноэдры постоянны, а въ другую те, для которыхъ этого нетъ. 

 Къ этой второй группе относятся только тетрагональный и пентагональный 

 пентагонъ-изоэдры и соответственные призмоэдры. Къ ней можно бы 

 отнести и тригональный пентагонъ-изоэдръ (терартоэдръ) съ соответствен- 

 нымъ призмоэдромъ, если бы относящееся сюда мезосФеричесте много- 

 гранники не были бы правильными (додекаэдръ и икосаэдръ). Какъ таковые, 

 они одновременно принадлежатъ разнымъ рядамъ изогоновъ и изоэдровъ. 

 Все остальные принадлежатъ первой группе. Для правильныхъ многогран- 

 никовъ спещальнаго доказательства не требуется, хотя оно должно также 

 заключаться и въ более общемъ доказательстве. 



Не требуется доказательства и для подтипическихъ изогоновъ первой 

 группы, такъ какъ оно дается известною теоремою ЛинделеФа 1 ), по кото- 

 рой изъ всехъ многогранниковъ одного вида (то есть съ взаимнопараллель- 



1) ВиПеПп йе 1'Асай. 1шр. <1ез зспепсез к 81.-Ре1егзЪои§, 1870, р. 257. 



19 4* 



