ПРОБЛЕМА-МИНИМУМЪ ВЪ УЧЕН1И О МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. 55 



Суммируя эффекты сдвига, мы можемъ это же утверждать и отно- 

 сительно конечныхъ сдвиговъ, приводящихъ къ конечнымъ же уменыпе- 

 шямъ величинъ гоноэдровъ. 



Тотъ же ходъ доказательства мы можемъ повернуть въ обратную 

 сторону, и тт>мъ доказать обратную теорему, а именно: вращая пирамиду , 

 вписанную въ круговой конусъ, около ея вершины, мы найдемъ, что изъ 

 всгьхъ ея положены при этихъ движенгяхъ то именно дастъ наименьшую 

 площадь сплетя съ нгькоторою данною неподвижною плоскостью, при ко- 

 торомъ ось пирамиды будешь перпендикулярна къ этой плоскости. 



Въ самомъ дтат,, въ предыдущемъ разсуждеши, когда мы принимали 

 сдвигъ, параллельный основанш, при этомъ процессе оставались постоян- 

 ными линейные отрезки какъ по направленш сдвига, такъ и по направле- 

 шю, къ нему перпендикулярному, то есть оставались постоянными элементы 

 площади, и тогда угловые элементы непрерывно уменьшались. Следова- 

 тельно и обратно, если будемъ оставлять постоянными угловые элементы, 

 напр. вращать пирамиду около прямой, проходящей чрезъ ея вершину и 

 перпендикулярной къ оси сдвига, то съ удалешемъ ея отъ начальнаго поло- 

 жешя, элементы площади въ ея плоскомъ разрезе плоскостью постояннаго 

 положения, будутъ непрерывно возрастать. Но такъ какъ направлеше 

 сдвига взято произвольно, то и ось вращен1я пирамиды произвольна. 



Теперь перейдемъ къ доказательству, относящемуся къ мезосФериче- 

 скимъ изоэдрамъ. 



Пусть ОАВСБЕ(фпг. 7) есть элементарная пира- 

 мида иБкотораго мезосФерическаго изоэдра въ пред- 

 положен^, что телесный уголъ этой пирамиды не 

 изменяется При переходе отъ мезосФерическаго члена 

 къ какимъ- нибудь другимъ типическимъ изоэдрамъ; 

 пусть <д центръ круга, описаннаго около многоуголь- 

 ника основатя то есть грани изоэдра. 



Проведемъ произвольную косую плоскость, пере- 

 секающую ПИраМИДу СЪ ГБМЪ ЛИШЬ ОГраНИЧешеМЪ, Фиг. 7. 



чтобы эта плоскость могла быть гранью типическаго 

 изоэдра даннаго ряда. При этомъ однако подберемъ такое разстояше секу- 

 щей плоскости отъ вершины пирамиды, чтобы площадь сечешя АВ'С'В'Е' 

 была равна площади сечешя основашя данной пирамиды. 



Согласно только что доказанной теореме высота этой новой пирамиды 

 будетъ меньше, чЬмъ данной. 



Такъ какъ основаше новой пирамиды находится въ перспективномъ 

 отношенш къ основанш данной, то сами многоугольники общихъ основанш 

 связаны между собою однозначною кристаллографическою проэктивностью, 



23 



