ПРОБЛЕМА-МИНИМУМЪ ВЪ УЧЕНШ О МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. 71 



дуя выражеше, получающееся при исключеши членовъ, становящихся 

 равными нулю: 



2 (соз 2а 2 -+- сов 2а 3 ) (зш 2а 3 -+- зш 2а 2 ) -+- 



-*- 2 [зт 2а 2 (2 соз 2а 3 — 1) -+- зт 2а 3 (2 соз 2а 2 — 1)] (соз 2а 3 -*- соз 2а 2 ) 



Отбрасывая излишше множители и производя понятное сокращеше, 

 мы въ конц-в концовъ приходимъ къ выражение 



зт 2а 2 соз 2а 3 -+- зт 2а 3 соз 2а 2 = зт (2я 2 -+- 2а 3 ) = — зт (2а,). 



Если принять во внимаше, что мы отбросили переменный множитель 



(соз 2а а -+- соз 2а 3 ) = соз (а 2 -н- а 8 ) соз (а 2 — а 3 ) = — соз а г , 



то станетъ ясно, что вторая производная положительна при а 2 = а 3 , и 

 следовательно мы имт>емъ дело съ минимумомъ поверхности призмоида въ 

 ряду. 



Наконецъ для получешя выражешя поверхности изоэдровъ ряда имт>емъ 



8е = Т Р 2 ^ з1п ( 2Ъ ^ = Т Р 2 ^ 8т 2б 1 "*" 2ЛГ з1п 2& 2-+- 2^У зт 26,), 

 и еще 



Поэтому 



зш 26. 





2б 1 н-6 2 -1-6 3 =2й, 



ЙЬ 2 



(1а 2 



зш 26, АЪ, 



= — - и — - — 



ЗШ 2а 2 йа 2 



зш 2а 3 ' 



—1 й& 



а отсюда ш -^ = 



.Г, „ зш2Ь, . „ _ . ., „ . . .. вш2Ь, . „ „ . ,. 



соз а, соз (а,— а,) 4 соз4о,-^-^ зш2а,+2 зш4о, сов2а~+4 соз4Ь, . „ " зш2а,+2зш4о, соз2а. 

 1 ч *• *'[ *8ш2а 2 * *. 2 З зш2а 3 3 3 



[соз а, соз (а 2 — а 3 )] 2 



4 (2 зш 2Ь 1 н-81п 2Ь 2 -ьзш 2Ь 3 ) соз а, соз (а 2 — а 3 ) 



[соза 1 соз (а 2 — а 3 )] 2 



Уже изъ этого выражешя мы прямо можемъ видеть, что производная 

 становится равною нулю при а 2 = а 3 (а г = сопзЪ.).' 



Мы не будемъ отъискивать второй производной, такъ какъ уже изъ 

 вышеизложеннаго ясно, что здесь мы им'Ьемъ дело съ максимумомъ. 



Въ заключеше слт>дуетъ упомянуть о томъ исключительномъ рядв 

 мезосФерическихъ скаленоэдровъ, для котораго Л г = 2 и который, начи- 

 наясь отъ октаэдра и кончаясь тетраэдромъ, не переходитъ дальше въ 

 рядъ трапецоэдровъ. 



Соответствующее этому ряду тетрагональныхъ скаленоэдровъ изогоны 

 есть трапецоидальныя призмоиды съ основашями прямоугольниками. Его 

 крайними членами являются кубъ и тетраэдръ. 



?9 



