ПРОБЛЕМА-МИНИМУМЪ ВЪ УЧЕШИ О СИММЕТРШ. 75 



меныпемъ въ целое число разъ, соответственно уменыпенш величины сим- 

 •метр1и. Вообще Формы граней будутъ совершенно иныя, чт^мъ у изоэдровъ 

 высшаго вида, но ясно, что необходимо въ составе каждой грани будетъ 

 находиться и часть, въ точности соответствующая всей грани изоэдра 

 высшаго вида симметрш. 



Для составлешя подтипическаго изогона мы можемъ исходить изъ 

 произвольно взятой точки, принимаемой за одну изъ вершинъ изогона; пол- 

 ный изогонъ определяется, если мы на основанш свойствъ каждаго элемента 

 симметрш выведемъ все вершины, равныя данной, произвольно взятой. 



Если теперь отъ высшаго вида симметрш перейдемъ къ некоторому 

 низшему, подчиненному, то, исходя изъ той же вершины, мы получимъ 

 совокупность равныхъ вершинъ (и при нихъ, конечно, равныхъ гоноэдровъ), 

 хотя и входящихъ въ составъ вершинъ изогона высшаго вида симметрш, 

 но не полностью, а въ меныпемъ числе, и притомъ меныпемъ въ целое 

 число разъ, соответственно уменыпенш величины симметрш. 



Вотъ полученные такимъ образомъ изоэдры и изогоны, съ одной сто- 

 роны высшаго, съ другой стороны нвкотораго низшаго подчиненнаго вида 

 симметрш, и будетъ то, что мы называемъ соответственными изоэдрами и 

 соответственными изогонами. 



Ставя проблему о минимальныхъ поверхностяхъ, мы должны, следо- 

 вательно, решить вопросъ о томъ, уменьшается ли величина относительной 

 поверхности съ повышетемъ симметрш, но при неизменности вида сингоши. 



Что касается типическихъ изоэдровъ, то съ повышетемъ симметрш 

 въ* кратное число разъ возрастаетъ число граней, а въ предыдущей статье 

 мы уже заметили довольно общш для мезосФерическихъ многогранниковъ 

 Фактъ, что съ повышетемъ числа граней уменьшается относительная по- 

 верхность. Но тамъ мы имели дело нетолько не съ соответственными мно- 

 гогранниками, но даже съ весьма разнородными; вместе съ темъ проявля- 

 лись и исключешя изъ этого общаго правила. 



Какъ разъ теперь, для соответственныхъ изоэдровъ, мы можемъ 

 доказать это правило съ математическою строгостью. 



Это доказательство мы можемъ основать на той, доказанной въ пре- 

 дыдущей статье, теореме (стр. 55), по которой при вращеши прямой пира- 

 миды около ея вершины наименьшее плоское ея сечете некоторою плоско- 

 стью постояннаго положешя получается тогда, когда ось этой пирамиды 

 перпендикулярна къ этой плоскости, и чемъ дальше эта ось отойдетъ отъ 

 этого предельнаго положения, темъ плоское сечете больше. 



Понятно, что такую пирамиду мы можемъ взять съ безконечно малымъ 

 телеснымъ угломъ при ея вершинЬ, и тогда можемъ выразить эту же 

 теорему такъ: плоское сечете безконечно малаго гоноэдра непрерывно 



43 



