76 Е. С. ФЕДОРОВЪ, 



возрастаетъ при угловомъ удалении реберъ гоноэдра отъ перпендикуляра 

 къ плоскости. Въ такомъ именно виде мы Формулировали одинъ изъ проме- 

 жуточныхъ выводовъ при доказательстве упомянутой теоремы. 



Теперь прим-Бнимъ теорему къ типическимъ изоэдрамъ. 



Сравнимъ два изоэдра: одинъ высшаго вида симметрш, а другой 

 соответственный изоэдръ низшаго, подчиненнаго, вида симметрш. Такъ какъ 

 мы им'Ьемъ въ виду типическш выпуклый многогранникъ, то основан1е 

 перпендикуляра на грани перваго есть точка, находящаяся внутри его 

 грани, и во всякомъ случат, не выходящая за ея пределы; гвмъ более это 

 будетъ им^ть м^сто въ изоэдре подчиненнаго вида симметрш. Центральный 

 гоноэдръ перваго изоэдра въ <5 раза меньше соответственна™ гоноэдра 

 второго, где 5 величина симметрш г ). 



Поэтому если раздЬлимъ эти гоноэдры на равные безконечно малые 

 элементы, и затемъ будемъ прослеживать соответственные элементы ихъ 

 плоскихъ сеченш, начиная отъ основами перпендикуляра въ любомъ на- 

 правленш, то пока мы будемъ находится въ предблахъ грани перваго изо- 

 эдра плосшя сечешя обоихъ будутъ тождественны; все жр выходящш за 

 эти пределы плоск1я сечен1я второго будутъ больше соответствующихъ 

 сеченш (то есть сеченш занимающихъ то же относительное место въ грани 

 изоэдра) перваго. Поэтому и общая сумма сеченш, а следовательно и пол- 

 ная относительная поверхность должна быть больше, что и требовалось 

 доказать. 



Конечно, доказательство не применимо для исключительныхъ изоэдровъ, 

 основание перпендикуляра къ гранямъ которыхъ находятся на периФерш 

 этихъ граней. Въ этихъ случаяхъ, какъ известно, изоэдры высшаго и низ- 

 шаго видовъ симметрш тождественны, а следовательно тождественны и 

 ихъ относительный поверхности. 



Итакъ, относительный поверхности типическихъ изоэдровъ высшихъ 

 видовъ симметрш, если только они не тождественны съ соотвгътствеи- 

 ными изоэдрами низшихъ, подчиненныхъ видовъ симметрш, есть поверх- 

 ности минимальный. 



Казалось бы, можно поставить соответственный вопросъ и относи- 

 тельно поверхностей подтипическихъ изогоновъ. Но въ этомъ отношенш 

 дуализмъ между изоэдрами и изогонами нарушается, и допущеше, будто бы 

 относительныя поверхности подтипическихъ изогоновъ высшихъ видовъ 

 симметрш меньше, чемъ поверхности соответственныхъ изогоновъ низшихъ, 

 подчиненныхъ видовъ симметрш, оказывается не имеющимъ общности, а 

 следовательно и невернымъ. 



1) При этомъ изложенш я, конечно, подразумеваю знакомство съ элементами нашей 

 науки, началами учешя о Фигурахъ. 



44 



