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Den Werth -4- 1 kann das Doppelverhältniss A nicht besitzen, 

 weil sonst a x und a 2 ein und dasselbe Element wäre ; so dass dann 

 die beiden Gebilde G x , G 2 drei Doppelelemente besässen und folglich 

 ganz einander decken müssten. 



Es ist somit abgesehen von dem Vorzeichen, A grösser oder 

 kleiner als die Einheit. 



Im ersten Falle ist lim A n s= + oo , und folglich : 

 lim cc x D — Hh o° 



lim a 2 n == , 

 und daher: 



lim a x n z= f | . . 



lim a % n — e. ) 

 Im zweiten Falle, wenn nämlich der numerische Werth von A 

 kleiner als die Einheit ist, hat man lim A n = O und daher : 



lim a x ° == O 



Zm a 2 n — + oo , 

 woraus folgt: 



lim a x n — e I , . 



Km a 2 n = /". j 



Die Gleichungen (Ö) und (6) enthaltenden Beweis unseren Satzes. 



4. Indem wir in diesem und dem folgenden Artikel einen rein 

 geometrischen Beweis des Satzes zu liefern gedenken, können wir 

 uns auf Punktreihen und Strahlenbüschel beschränken, weil man ja 

 Ebenenbüschel dadurch, dass man sie aus einem Punkte ihrer Axe 

 auf eine Ebene projicirt, auf Strahlenbüschel zurückführen kann. 



Zwei projectivische Punktreihen auf demselben Träger (auf der- 

 selben Geraden) erhält man am einfachsten in folgender Weise. 



Seien S x und &, die Scheitel zweier in perspectivischer Lage 

 befindlichen Büschel (siehe Fig. 1), deren perspectivischer Durchschnitt 

 die Gerade P ist. 



Dann entsprechen einander jene Strahlenpaare A x A 2 , JB X B % 

 C x C 2 . . . . welche sich in Punkten des perspectivischen Durchschnittes 

 P durchschneiden. 



Insbesondere entspricht sich der gemeinschaftliche Strahl bei- 

 der Büschel selbst, wesshalb er die Buchstaben F x und F 2 trägt. 

 Schneidet man nun die beiden Büschel mit der sonst willkürlichen 

 Transversalen T, so erhält man auf derselben zwei projectivische 

 Punktreihen: fl n & n c x . . . und a„, b 2 , c 2 .... von welchen sich 

 leicht die beiden Doppelpunkte angeben lassen. 



