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Wir wollen nun zu der Bedeutung des bewiesenen Satzes, 

 welcher die Doppelelemente als Grenzelemente auftreten lässt, für 

 die Curven dritter Ordnung und Classe schreiten. 



6. Eine Curve dritter Ordnung und Classe, welche wir kurz 

 mit C 3 3 bezeichnen wollen, besitzt eine Spitze s und eine Inflexions- 

 tangente / (siehe Fig. 3). 



Fig. 3. 



Jede Gerade ihrer Ebene 

 trifft sie in drei Punkten, und 

 somit jede ihrer Tangenten 

 ausser im Berührungspunkte 

 nur noch einmal; die Spitzen 

 und die Inflexionstangente 

 schneidet sie in drei zusammen- 

 fallenden Punkten. 



Jede durch die Spitze ge- 

 hende Gerade schneidet die 

 Curve ausser in der Spitze nur 

 noch einmal; denn die Spitze 

 ist aus einem Doppelpunkte 

 dadurch entstanden, dass seine 

 beiden Tangenten zusammen- 

 fielen. 



Man kann daher jedem 

 Punkte der Curve einen Strahl 

 aus s, und umgekehrt jedem 

 Strahle aus s seinen Schnitt- 

 punkt mit C 3 8 zu ordnen. 

 „Die Curve C 3 3 liegt mit dem Stahlen büschel aus s perspecti- 

 visch." Von jedem Punkte der Ebene der Curve C 3 3 lassen sich an 

 dieselbe drei Tangenten ziehen, und somit aus einem ihrer Punkte 

 ausser dessen Tangente nur noch eine weitere. 



Von der Spitze und dem Inflexirespunkt aus gehen an die Curve 

 drei zusammenfallende Tangenten. 



Von jedem Punkte der Inflexionstangente geht an die Curve C 3 3 

 nur eine Tangente ; denn die Inflexionstangente entstand aus einer Dop- 

 peltangente dadurch, dass die beiden Berührungspunkte zusammenfielen. 

 Man kann daher jeder Tangente der Curve einen Punkt auf J, 

 und umgekehrt jedem Punkte von J die von ihm an C 3 3 gehende 

 Tangente zuordnen. 



„Die Curve C 3 3 liegt mit der Punktreihe auf J perspectivisch." 



