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Diese Thatsachen bringen es mit sieb, dass man an der Curve C 3 

 projeetivische Taugeuten- und Punktsysteme herstellen und unter- 

 suchen kann. 



Man denke sich irgend einen Punkt a, der Curve G 3 3 , welcher 

 die Tangente Q( besitzt, und nach welchem der Strahl A x aus der 

 Spitze s geht. 



Die Tangente ©j schneidet die Curve in einem Punkte a 2 , welcher 

 von Cremona als der Tangentialpunkt des Punktes cc l bezeichnet 

 wurde, und nach welchem von s der Strahl A 2 gehen möge. Aus 

 dem Vorhergehenden folgt nun unmittelbar: 



„Jedem Punkte der Curve entspricht ein Tangentialpunkt, und 

 umgekehrt gehört zu jedem Tangentialpunkte nur ein einziger Punkt 

 der Curve." 



Gehen wir von den Punkten zu den mit ihrem perspectivisch 

 liegeuden Strahlen des Büschels s über, so erkennt man dass: 



„Jedem Strahle A y nur ein Strahl A 2 und umgekehrt entspricht ; 

 desshalb sind die beiden durch A v und A 2 beschriebenen Büschel 

 projeetivisch." Wir kennen diess in folgendem Satze ausdrücken: 



„Die Punkte der Curve und die ihnen entsprechenden Tangential- 

 punkte bestimmen auf s zwei projeetivisch concentrische Büschel." 

 Die Doppelstrahlen dieser zwei Büschel lassen sich leicht bestimmen. 

 Es ist dies erstens die Spitzentangente E, uud der nach dem Infle- 

 xionspunkte f gehende Strahl F. 



Uebertragen wir die Begriffe der Projectivität von den Büschel- 

 strahlen auf die ihnen entsprechenden Curvenpunkte, so gelangen wir 

 zu folgendem Theoreme. 



I. Theorem: „Die Punkte der Curve C 3 3 und die ihnen entspre- 

 chenden Tangentialpunkte bilden zwei projeetivische Punktsysteme, 

 deren Doppelpunkte : der Inflexionspunkt , und der Rückehrpunkt 



sind. u 



Ein ähnliches Theorem, und zwar das reciproké lässt sich für 



die Tangenten der Curve aufstellen und beweisen. Jede Tangente, 



q , welche die Inflexionstangante J im Punkte <á{ trifft, besitzt einen 



Berührungspunht a } von welchem sich an die Curve C 3 3 eine weitere 



Tangente q 2 legen lässt, welche J in a 2 schneidet. 



Wir wollen die Tangente e 2 als die der Tangente ei »zuge- 

 ordnete" bezeichnen. 



Aus dem über die Curve <7 3 3 Gesagten folgt unmittelbar: „Jeder 

 Tangente der Curve C 3 3 ist eine Tangente zugeordnet und umge- 

 kehrt ist jede Tangente die zugeordnete einer Anderen." 



