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Punkten, enthält somit drei Kanten des Kegels und folglich wird er 

 von jeder geraden des Raumes in drei Punkten getroffen. Dieser 

 Kegel ist aber nicht allgemeiner Natur. 



Ein Kegel dritter Ordnung ist nämlich im Allgemeinen von der 

 sechsten Classe, d. h. durch jeden Punkt lassen sich an ihn sechs 

 Tangentialebenen legen. Der von uns aus P über C 3 construirte Kegel 

 ist jedoch nur von der vierten Classe, weil er eine Doppelkante 

 besitzt. Diese Doppelkante ist die durch den Scheitel P gehende 

 Secante S der Curve. 



In der That wird jede durch S gehende Ebene nur noch eine 

 Kante des Kegels enthalten, weil sie die Curve ausser in den beiden 

 auf S liegenden Punkten nur noch einmal schneidet. Wir wollen die 

 beiden auf S liegenden Punkte der Curve mit cc { und a 2 und deren 

 Curventangenten resp. mit ® y und ®„ bezeichnen, und können nun 

 folgenden Satz ausprechen : 



„Der aus einem beliebigen Punkte über einer Raumcurve dritter 

 Ordnung construirte Kegel ist von der dritten Ordnung und der vierten 

 Classe. Die durch den Scheitel gehende Secante der Curve ist die 

 Doppelkante des Kegels." 



Der Kegel kann eine verschiedene Natur besitzen. Ist nämlich 

 die Secante S eine eigentliche Secante , so wird sie auch eine 

 eigentliche Doppelkante des Kegels sein. Sind a, und a 2 , wie ange- 

 genommen wurde, die beiden Punkte, welche S mit der Curve gemein 

 hat und ® r , ® a deren respective Tangenten, so sind in diesem Falle 

 «! und a 2 somit auch & L und ® 2 reel. 



Die beiden durch S und ©, und © 2 gelegten Ebenen sind die 

 Tangentialebenen des Kegels in der Doppelkante S. Diese Tangen- 

 tialebenen sind also auch reel und folglich die Doppelkante eine 

 eigentliche. 



Zweitens kann S eine ideelle Sekante der Curve sein. Dann 

 sind « 1 und cc 2 und somit auch & L und ® 2 imaginär, folglich auch die 

 Tangentialebenen des Kegels in der Doppelkante; diese ist uann 

 eine isolirte Doppelkante. 



Als Gränzfall kann der Fall eintreten, dass die Secante S in 

 eine Tangente übergeht oder dass die beiden Punkte <x L und a 2 un- 

 endlich nahe zu einander rücken. Dann fallen auch die Tangenten 

 S y und © 2 und folglich auch die beiden Tangentialebenen des Kegels 

 in der Doppclkante zusammen. Die Doppelkante S wird in diesem 

 Falle eine Spitzenkante und der Kegel wird nur mehr von der dritten 

 Classe sein. Offenbar wird die Partie jener Punkte, für welche die 



