27 



unsere Curve C 3 central auf irgend eine Ebene E. Die Projection C 

 ist eine Curve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkte ď. Den In- 

 flexionspunkten a\b 4 ,& derselben entsprechen die drei Schmiegungs- 

 ebenen der Raum curve C 3 , welche durch den Punkt P hindurchgehen. 



Die drei durch P gehenden Schmiegungsebenen werden dann 

 insgesammt reel sein, wenn die drei Inflexionspunkte a\ b\ c', von 

 C sämmtlich reel sind ; und es wird nur eine Schmiegungsebene reel 

 sein, wenn nur einer von den drei Inflexionspunkten reel bleibt. 



Die Realität der drei Inflexionspunkte einer Curve dritter 

 Ordnung mit einem Doppelpunkte richtet sich nach der Natur des 

 letzteren. Ist der Doppelpunkt ein eigentlicher, so ist nur ein ein- 

 ziger Inflexionspunkt reel, während alle drei reel sind, wenn der 

 Doppelpunkt ein isolirter ist. Der Doppelpunkt ď von C ist aber 

 dann ein eigentlicher, wenn die durch P gehende Secante der Curve 

 eine eigentiche ist, uud dann ein isolirter, wenn diese Secante eine 

 ideelle ist. Wir können daher folgenden die gestellte Frage beant- 

 wortenden Satz aussprechen: 



„Durch einen Punkt gehen drei reelle Schmiegungsebenen einer 

 Raumcurve dritter Ordnung, wenn die durch ihn gehende Sekante 

 der Curve eine ideelle ist; und es geht nur eine reelle Schmiegungs- 

 ebene durch ihn, wenn diese Secante eine eigentliche ist." 



Aus diesem Satze folgt mit Rücksicht auf das Frühere ebenfalls, 

 dass die developable Fläche der Raumcurve die beiden Punktarten 

 von einander scheidet. 



7. Die reciproken Betrachtungen führen zu ähnlichen Bezie- 

 hungen der Raumcurven dritter Ordnung mit den ebenen Curven 

 dritter Classe, vierter Ordnung. Wir wollen dieselben nicht vollständig 

 durchführen, sondern in aller Kürze einen Umriss zu geben versuchen. 



Wenn man die developable Fläche der Raumcurve, welche wir 

 kurz mit F bezeichnen wollen, durch eine beliebige Ebene schneidet, 

 so erhält man eine Curve dritter Classe mit einer Doppeltangente, 

 also von der vierten Ordnung. Die Doppeltangente ist die in der 

 schneidenden Ebene liegende Axe der Raumcurve. Je nachdem diese 

 Axe eine eigentliche oder eine ideelle ist, tritt sie auch als eigentliche 

 oder isolirte Doppeltangente der Schnittcurve auf. Die schneidende 

 Ebene trifft die Raumcurve in drei Punkten, welche die Spitzen der 

 Schnittcurve sein werden. Die den Punkten zugehörigen Schmiegungs- 

 ebenen schneiden die schneidende Ebene in den Spitzentangenten. 

 Die zwei, die beiden Curvenarten betreifenden Sätze, welche einander 

 wechselseitig entsprechen, sind die folgenden: 



