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Vermittelst dieses Resultates lässt sich nicht nur das Volumen 

 eines cllipsoidischeu Abschnittes berechnen, sondern es folgt auch 

 daraus, dass gleichen Körperabschnitten an der Kugel gleiche am 

 Eilipsoide, dass ferner an Volumen grössten oder kleinsten Gebilden 

 an der Kugel eben solche am Ellipsoide entsprechen. 



Beschränken wir uns, was den letzteren Punkt betrifft, nur auf 

 Polyeder, die von lauter gleichartigen Polygonen begrenzt werden, 

 von denen sich stets gleich viele zu einer Ecke vereinigen, und nehmen 

 wir als erwiesen an, die regulären Polyeder seien die an Volumen 

 grössten oder kleinsten unter allen der Kugel ein- oder umgeschrie- 

 benen Polyedern gleicher Flächenzahl, was wegen der allseitigen Sym- 

 metrie der Kugel gestattet ist, so ergeben sich bezüglich der an 

 Volumen grössten oder kleinsten einem Ellipsoide ein- oder umge- 

 schriebenen Polyeder manigfache Lehrsätze, von denen die wichtigsten 

 im Folgenden angeführt werden : 



1. Demselben Ellipsoide lassen sich unendlich viele an Volumen 

 grösste oder kleinste Polyeder von gegebener Flächen zahl ein- oder 

 umschreiben; das Volumen ist für dieselbe Gattung constant und 

 wird aus dem ihm auf der Kugel entsprechenden durch Multiplika- 

 tion mit — ^ gefunden. 



2. Diese Polyeder werden von paarweise parallelen, vom Centrum 

 gleich weit abstehenden Ebenen begrenzt, das Tetraeder ausgenommen, 

 dessen Ebenen parallel sind zu den durch die ihnen gegenüberliegenden 

 Ecken an das Ellipsoid gelegten Tangentialebenen. 



3. Jedem grössten oder kleinsten Polyeder lässt sich ein mit 

 dem gegebenen homaxales und ähnliches Ellipsoid ein oder um- 

 schreiben; für dieses ist das Polyeder ein kleinstes oder grösstes. 

 Das eingeschriebene Ellipsoid berührt die Ebenen des Polyeders in 

 den Mittelpunkten der durch sie am umschriebenen abgeschnittenen 

 Ellipsen. 



4. Die Pyramiden, deren Scheitel das Centrum, deren Basen 

 die das Polyeder begrenzenden Polygone bilden, sind an Volumen gleich. 



5. Es verhalten sich daher die Flächeninhalte der ein Polyeder 

 begrenzenden Polygone verkehrt wie die Abstände letzterer vom 

 Centrum des Ellipsoides. 



6. Die Begränzungsflächen der Polyeder haben unter allen den 

 durch die Begrenzungsebenen am umschriebenen Elipsoide erzeugten, 

 Ellipsen eingeschriebenen Polygonen von bestimmter Seitenzahl den 

 grössten Flächeninhalt. 



