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die Gleichung in £ und v\ vom w-ten Grade, so sagen wir, sie stelle 

 ein „symetrisches Elementensystem w-ten Grades vor." Dasselbe wird 

 nach Art. 3. 2n Doppelelemente der dort besprochenen Art besitzen. 

 Ein symetrisches Elementensystem lten Grades z. B. stellt eine 

 quadratische Involution vor. Ueberhaupt sind die symetrischen Ele- 

 mentensysteme w-ten Grades die natürlichste Quelle der Involutionen 

 (n-r-l)-ten Grades und es ist, damit erstere in letztere übergehen 

 nur nöthig, dass innerhalb einer (/ř-f-1) elementigen Gruppe vollkom- 

 mene Vertauschungsfähigkeit herrsche. 



5. Es kann geschehen, dass von den n Elementen ?/, welche 

 einem Elemente x entsprechen, zwei zusammenfallen. Ein solches 

 Element nennen wir ein Doppelelement „des Gebildes Gn u , während 

 dann das x ein „Verzweigungselement des Gebildes Gm" heisst. 



Es ist nicht schwer die Zahl der in ein em der beiden Gebilde 

 auftretenden Doppel- und Verzweigungselemente festzustellen. 



Zu dem Behufe ordne man die n, dem x entsprechenden Ele- 

 mente y des Gebildes Gn einander verwandtschaftlich zu. Man er- 

 hält dadurch im Gebilde Gn ein symetrisches Elementensystem vom 

 Grade: m (n — 1). 



Um nämlich zu irgend einem Elemente y von Gn die ihm in 

 dem symetrischen Elementensysteme entsprechenden Elemente zu 

 finden, muss mann die, diesem Elemente in Gm entsprechenden Ele- 

 mente x, deren es m gibt, fixiren, und zu ihnen abermals in Gn die 

 entsprechenden Elemente eonstruiren. Nun entsprechen jedem x 

 ausser dem schon betrachteten y noch (n — 1) andere Elemente von 

 Gn, welche dem y im erwähnten symetrischen Elementensysterae zu- 

 geordnet sein werden. Desshalb entschprechen in diesem Systeme 

 jedem Elemente m (n — 1) Elemente, und somit ist das System vom 

 Grade m (n — 1). Die 2m (n — 1) Doppelelemente desselben sind 

 aber dann offenbar zugleich die Doppelelemente von Gn. Somit: 



„Das w-deutige Gebilde Gn enthält 2m (n — 1) Doppelelemente 

 und folglich Gm 2n (m — 1)." Selbstverständlich wird Gn 2n(m — 1) 

 und Gm 2m (n — 1) Verzweigungselemente enthalten. 



6. In einem symetrischen Elementensysteme hat man zweierlei 

 Doppelelemente zu betrachten, welche wir als Doppelelemente „erster 

 Art" und als solche „zweiter Art" unterscheiden wollen. 



Ein Doppelelement erster Art ist ein solches, welches durch 

 das Zusammenfallen eines Elementes mit einem seiner entsprechenden 

 entsteht. Derartige Doppelelemente haben wir im Art. 4. betrachtet 



