35 



und haben deren Zahl gleich 2w gefunden, wenn n der Grad des 

 Elementensystemes ist. 



Ein Doppelelement zweiter Art entsteht, wenn von den n einem 

 Elemente entsprechenden Elementen zweie zusammenfallen. 



Die Zahl der Doppelelemente zweiter Art findet man durch ein 

 dem in Art. 5. angewendeten ganz ähnliches Raieonement gleich 

 2w — 1). 



7. Sei C eine algebraische Curve w-ter Ordnung ohne vielfache 

 Punkte oder Spitzen also eine Curve, welche von jeder Geraden ihrer 

 Ebene in n Punkten geschnitten wird. 



Man nehme in der Ebene der Curve C zwei ganz beliebige 

 Punkte 0, P an. Jeder durch P gehende Strahl schneidet C in n 

 Punkten a und wir wollen die von nach diesen Punkten gehenden 

 Strahlen einander zuordnen, Dadurch entsteht am Punkte ein sy- 

 metrisches Strahlensystem, dessen Ordnung offenbar n (n — 1) beträgt. 

 Denn um zu einem Strahle durch die entsprechenden zu finden, 

 hat man seine n Schnittpunkte, welche auf C entstehen, mit P zu 

 verbinden, von welchen Verbindungslinien jede die Curve C in (n — 1) 

 weiteren Punkten schneidet, die mit verbunden entsprechende 

 Strahlen, liefern. 



Jedem Doppelstrahle erster Art entspricht im Büschel P eine 

 durch P gehende Tangente der Curve C. Da sich nun, wie man so- 

 fort findet, der Strahl OP in dem Strahlensysteme n (n — l)mal selbst 

 entspricht, also n (n — 1) Doppeleleraente repräsentirt und da das 

 Strahlensystem im Ganzen In (n — 1) Doppelelemente besitzt , so 

 wird es n (n — 1) solcher Doppelelemente im Strahlensystem geben, 

 welche durch P gehende Tangenten von C liefern d. h. es wird 

 n(n— 1) durch P gehende Tangenten von C geben. 



Der Punkt P ist ebenso wie der Punkt beliebig, und somit 

 haben wir durch vorstehende Betrachtung den bekannten Satz be- 

 wiesen : 



„Eine Curve w-ter Ordnung ohne mehrfache Punkte ist von der 

 n (n — l)-ten Gasse." 



8. Ebenso leicht ergibt sich der Einfluss mehrfacher Punkte auf 

 die Classenzahl einer Curve. 



Ist nähmlich R ein r-facher Punkt von C, so wird der bei R 

 unendlich nahe gehende Strahl des Systemes die Curve in r zu 

 R unendlich nahen Pukten schneiden und daher jeder aus P nach 

 einem derselben gehende Strahl in (r — 1) weiteren zu R unendlich 

 nahen Punkten. 



