36 



Mit anderen Worten : der Strahl OB entspricht sich r (r — l)-mal 

 selbst und stellt daher r (r — 1) Doppelstrahlen des Strahlensystemes vor. 



„Ein >--facher Punkt einer Ortscurve vermindert deren Classen- 

 zahl um r (V — 1) Einheiten." 



9. Eine Tangente t von wird die Curve im einem Punkte a 

 berühren und überdiess in (n — 2) Punkten a schneiden. Wenn ein 

 Paar dieser Punkte a zusammenfällt, so wird A die Curve doppelt 

 berühren d. h. eine Doppeltangente von C sein. 



Um die Zahl x der Doppeltangenten der Curve C zu bestimmen, 

 nehmen wir abermals den Punkt O willkürlich in der Ebene der Curve 

 C an und ordnen einander die Strahlen Oa zu. Es entsteht so ein 

 symetrisches Strahlensystem, dessen Doppelstrahlen die Doppeltan- 

 genten liefern. 



Jede Doppeltangente wird, da sie in zwei Punkten berührt, zwei 

 Doppelstrahlen liefern, so dass also die Zahl der von den Doppeltan- 

 genten herrührenden Doppelstrahlen 2x ist. 



Um den Grad des Strahlensystemes zu erhalten, suchen wir 

 die Zahl der, einem Strahle entsprechenden Strahlen. 



Der Strahl schneidet C in n Punkten ; von jedem lassen sich 

 an C [n(n—l) — 2] Tangenten ziehen von denen jede in einem 

 Punkte berührt und daher noch in (n — 3) Punkten die Curve schneidet. 

 Die nach den letzteren Schnittpunkten gehenden Strahlen sind ent- 

 sprechend dem Strahle, von welchem wir ausgingen. Ihre Zahl ist 

 somit n (n — 3) [n (n — 1) — 2] und dies ist zugleich der Grad 

 des symetrischen Strahlensystemes. 



Die Gesamintzahl der Doppelelemente ist demnach 2«(m. — 3) 

 [n — 1) — 2J. 



Nun sind aber die n(n ■- 1) von an C gehenden Tangenten 

 mehrfache Doppestrahlen. Man findet leicht, dass sich jede dieser 

 Tangenten (n — 2) (n — 3)-mal selbst entspricht, so dass dieselben 

 n (n — 1) (n — 2) (n — 3) Doppelstrahlen liefern. 



Dies gibt die Gleichung : 



2x -+- n (n — 1) (n — 2) (n — 3) = 2n (n — 3) [n (n — 1) — 2]. 



woraus sich nach einfacher Redukzion für die x bekannte Zahl : 



n (n — 2) (n- — 9) 

 x = ~\— 



ergibt. Dies ist die Zahl der Doppeltangenten einer allgemeinen Curve 

 w-ter Ordnung. 



10. Behält man die Anordnung des vorigen Artikels bei, und 

 ordnet dem Strahle Ott die Strahlen Oa zu, so erhält man zwei mehr- 



