f 326 ) 



dat is meetkundig : de ordinaat, die bij de abscis x = c behoort, 

 wordt oneindig groot. 



Analytisch is er dus bezwaar in het sommeeren der produk- 

 ten F(x)dx, waarvan er een den vorm OX °o verkrijgt, dat 

 is, onbepaald wordt. Meetkundig ontstaat de moeijelijkheid om 

 een inhoud te bepalen, wanneer tusschen de grenzen de kromme 

 lijn twee oneindige takken verkrijgt. 



4. Hieraan is door den grooten wiskundige cauchy op de 

 volgende wijze te gemoet gekomen. 



Hij voert de integratie uit, eerst van de grens x — a tot 

 x = c — i e, en dan van de grens x = e -J- v £ tot x = b ; 

 waar e eene grootheid, die de nul tot grens heeft, en waar ,u 

 en v zekere, geheel onbepaalde, positieve grootheden voorstellen. 

 Op die wijze verkrijgt hij voor de bepaalde integraal den vorm 



/c—us fb 

 F(x)dx + f F(x)dx; (4) 



a c+vs 



waarin men na het uitvoeren der integratie moet overgaan tot 

 de grens Gr. e = . 



Deze uitkomst noemt cauchy de algemeene waarde (valeur 

 générale'. Voor het bijzonder geval, dat de onbepaalde groot- 

 heden a en v aan elkander gelijk worden genomen, u — p, ver- 

 krijgt men den anderen, meer eenvoudigen vorm 



fc—ps fb 



I F(x)dx + ƒ F{x)dx 5) 



— waarin men ook even goed «é = éj kan stellen, als men 

 dan naderhand slechts tot de grens Gr. e x = overgaat ; of 

 waarin men, anders gezegd, ook u <== v = 1 kan nemen: — 

 die door cauchy de hoofdwaarde (valeur principale) wordt ge- 

 noemd. 



Daaruit ontstaat nu de volgende bepaling, in geval de functie 

 onder het integraalteeken ergens voor zekere waarde van de ver- 

 anderlijke x, tusschen de grenzen van de integratie gelegen, na- 

 melijk x — c, ondoorloopend wordt, 



fb b fc+ve fc-[v £ 



I F(.r) dx = qp (*) } ~ ƒ F(x) dx = q. (b) - <j (x) — f F(x) dx, . (6 ) 



c— ps c— ps 



