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assez indirecte, tend a lui óler également Ie merite de la 

 simplicité. En 1839; M. catalan a eu Tidée heureuse 

 d'utiliser une considération géoraétrique pour obtenir la 

 réduction de Tintégrale aux transceudantes elliptiques, d'une 

 maniere supérieure a cliacune de celles employees par les 

 deux géomètres éminens que nous venons de citer ^) M. Ie 

 Dr. scHLüMiLCH a traite en 1856 la même question, en 

 la considérant comme un cas particulier d'application d'une 

 formule générale fondée sur les propriétés de la fonction T f). 



Le même gèomètre a donné plus tard une methode directe 

 d'intégration qui se borne a condaire a deux intégrales 

 premières susceptibles d'être ramenées aux fonctions ellip- 

 tiques, mais sans indiquer le mojen d'en dédaire le résultat 

 final §). 



Le procédé que nous allons exposer a Tavantage de 

 conduire assez simplement et d'une maniere plus directe 

 aux transcendantes elliptiques, sans recourir a aucune con- 

 sidération géométrique. 



Changeons d'abord les variables o;' , y' en d'autres r , qp 

 liées avec les premières par les équations x' =^ r Cos. qp, 

 y' =r= r Sin. Cf, la doublé integrale se réduira alors a celle-ci : 



// 



1 — ?'2 (g2 (^Qg2 ^ I A Sin.'^ op) , , , 



riutégrale par rappoj-t a, r devant être prise entre les limites 



r :.= O, r == 1, et celle par rapporti qp entre les limites 



(p = 0. cp z= 2n. Posons encore 1 — r^=^^,ce qui donne 



rdr . , . , . ^ 

 — — - — do, il sWira d'évaluer la doublé integrale 



♦) Journal de Liouville, Tom. IV, pag. 323 et Tom. V, pag. 115. 



t) Zeitschrift f'ur Maihematik und Phi/sik., herausgegeben vou Dr. 

 o. SCHLÖMILCH und Dr. b. witzschel. Erster Jahrg. pag. 80. 



§) Ibid. pag. 376. 



