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On peut choisir, pour cela, les trois courbes passant par 

 A et respectivement par les intersections de C 3 avec chacune 

 des trois autres. 



Or chacune de ces courbes se construira aisément: par 

 A, menons une droite A X Elle coupe C z et 6' 3 en deux 

 ternes de points qui définissent une / x 3 . Dans cette invo- 

 lution, au point A, il correspond un couple sur A X. On 

 aura donc, sans difficulté, les éléments suffisants pour con- 

 struire la courbe cherchée. 



Les trois cubiques étant déterminées, une transversale 

 quelconque les coupe en des points appartenant a une 7 2 3 . 

 En particulier, 1'involution sur B C permettra de completer 

 Ie terne dont on connaït B, C. 



La répétition de ce procédé donnera les éléments nécessaires 

 a la construction de la cubique satisfaisant aux conditions 

 proposées. 



Nous aurons encore a résoudre une question d'une autre 

 nature qui nous sera utile par la suite. 



Peobleme IV. — Construire une sur f ace du seeond ordre 

 définie par neuf points ou de la seconde classe déjinie par 

 7ieuf plans tangents. 



Représentons par C^ zz 0, 1'équation de la courbe C 3 l et désignons par 

 (C3O0 l e premier membre de 1'équation quand on y substitue les coordon- 

 nées du point A. 



Toutes Ie courbes du système triplement infini auront une équation 

 de la forme: 



Aft + A' C 3 > + A" 3 " + A'" C 3 i" = 0. 



Pour celles qui passeront par A, on aura, de plus, la condition: 

 A (ft). + A' (C 3 )„ + A" (C/)„ + V" (<? 3 "% = 0. 



En éliminant A, par exemple, on aura 1'équation de celles des courbes 

 du système qui passent par A. 

 Cette équation sera: 



A' [CV WDo - O, (C7 3 %] + A" [CV' (ft), - C 3 (C 3 >%] 



+ *"'[Cz'"(c 3 ) -c 3 (c ó y] = o. 



Or il est visible qu' en égalant a zéro chacune des parties entre cro- 

 chets on a 1'équation d'une cubique passant par A, et respectivement, 

 par les intersections de C 3 avec chacune des autres courbes. 



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