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Soient PP' P", trois points situés sur une droite d 1? 



QQ'Q", </ 2 , 



RR'R", fl? 3 , 



5 w 6 , , , , d^ 



et A 1 A 2 A S ABC D, les sept autres points. 



En considérant r/ x , d%, r/ 3 comme trois droites d'une sur- 

 face, et les sept points S S' S" A B C I), on peut, a 1'aide 

 de ces éléments construire une surface S 3 . 



Nous aurons, en combinant différemment ces mêmes élé- 

 ments, trois autres surfaces a$ 3 ', aS 3 ", £ 3 '", caractérisant un 

 système triplement infini. 



Ces surfaces coupent Ie plan A 1 A 2 A S suivant quatre 

 cubiques définissant un système également infini. 



Il suflira d'appliquer Ie problême III, l re partie, et de 

 construire la cubique du système passant par A l A 2 A s . 



D'autres sections planes se construiraient facilement par 

 la répétition du même procédé. 



Mais, pour ce qui va suivre, il est nécessaire de construire 

 les intersections d'une droite quelconque l avec la surface ^ 3 . 



Or, si nous prenons deux points arbitraires B' 0' sur /, 

 nous pourrons construire la surface définie par d^ d 2 d 2 d é 

 ABCBA l B'C'. 



De cette facon, il sera possible de marquer sur /, 1'in- 

 volution 7 2 3 caractérisée par les surfaces définies par d Y d 2 d 3 d^ 

 A B C D A v 



On pourra agir de même avec A 2 , A 3 et Ie groupe com- 

 mun aux trois involutions, marquera 1'intersection de /avec 

 la surface. 



Supposons maintenant que 1'on ait ce problême: 



Construire une surface da troisieme ordre dont on connait 

 trois points en ligne droite et seize autres points. 



Soient P P' P" les points situés sur une droite d^, A B 

 C BE FG Hl KL M N A 1 A 2 A 3 , les seize autres points. 



En les conbinant de la maniere suivante : 



Pp-p'Ezd!, A~B=d 2 , ~CB=d 3 , ÊF=dto GHIK 

 L M N, on obtient, par ce qui précéde une surface <S 3 . 



D'autres arrangements des éléments donneront des surfaces 



