( 391 ) 



8. In de wortels der afgeleide vergelijking heeft men 

 d*X ft d*X d*X \ 



... (11) 



<?F tf 2 F „ d 2 F l 



77 + 2 fc ^177 + & Vi — = °- ! 



De wortels van deze beide vergelijkingen zijn altijd reëel, 

 en die van dezelfde vergelijking zijn steeds eikaars omge- 

 keerden met het omgekeerde teeken, zoodat de bijzondere 

 punten der X- en F-lijnen reëele dubbelpunten zijn, waar 

 twee takken der kromme elkaar loodrecht snijden. Dit be- 

 sluit zou niet meer gelden, wanneer al de drie tweede afge- 

 leiden van F of van X verdwenen, maar dit geval kan zich 

 bij de gemaakte onderstellingen niet voordoen, daar dan 

 twee wortels van de afgeleide zouden samenvallen. 



Uit de vergelijkingen (11) volgt in verband met (4) 



d 2 X d*X 

 tg 2 ip = — — - : — -, 

 a x z dx d>j 



d%Y dïY 

 fff 2 i/'j— -- — : —~i 

 a x z dx dy 



Waaruit men met behulp van (4) gemakkelijk afleidt 



tg 2 xp tg 2 ./<i -j-l = 0. 



Hieruit blijkt, dat de takken der X-lijn in een bijzonder 

 punt de hoeken tusschen die der F-lijn midden doordeelen. 



Geheel hetzelfde geldt weer voor de R- en ^-lijnen, zoo- 

 als geheel op dezelfde wijze blijkt. 



9. Laten wij de onderstelling, dat de afgeleide vergelij- 

 king geen gelijke wortels heeft, voor een oogenblik varen, 

 en onderzoeken wij hoe de X- en F-lijnen zich in een 

 dubbelen wortel van de afgeleide gedragen. In zulk een 

 punt is 



d*X d*X_ d*X d*Y d*Y _éPY_ 

 dx 2 dxdy dy 2 ' ~ d x 2 dxdy dy 2 



