( 393 ) 



zijn. Hunne betrekkelijke ligging zal echter dezelfde ge- 

 bleven zijn. Men heeft namelijk 



x z= a + x' cos co . — y sin co, 

 'y '= b -f- y' cos co + x' sin co, 



waaruit blijkt, dat deze substitutie neerkomt op eene ver- 

 plaatsing van het coördinatenstelsel, en wel zoo, dat men 

 een willekeurig punt a -f- bi als oorsprong en eene wille- 

 keurige lijn als #-as aanneemt. 



De X-, Y-, R- en ^-lijnen zijn dus in gedaante en onder- 

 linge ligging door deze substitutie niet veranderd. Had 

 men aan den term z' e iro nog een coëfficiënt c gegeven, dan 

 zou niet alleen eene verplaatsing van het coördinatenstelsel, 

 maar ook nog eene evenredige vergrooting of reductie van 

 al de afmetingen der figuur hebben plaats gehad. 



Vermenigvuldigt men de gegeven vergelijking met een 

 complexen factor f -f- g i , dan veranderen de waarde van 

 X, 7, R en $. 



De X- en F-lijnen zullen daardoor veranderen, maar de 

 R- en ^-lijnen niet. De waarden van R worden namelijk 

 alle met eene constante vermenigvuldigd en die van <£ met 

 eene constante vermeerderd. Dit blijkt onmiddellijk, als men 

 f -f gi = o (cos v -f i sin v) stelt ; X wordt dan vervangen 

 door q X cos v — q Y sin v, Y door q X sin v -\- q Y cos v, 

 maar R door Hq en <J> door $ -\- v. 



11. Gaan wij nu na, wat er met de lijnen R =. a ge- 

 beurt, als a de waarden van tot oo doorloopt. Voor zeer 

 kleine waarde van cc bestaat de itMijn uit n gesloten tak- 

 ken ieder een van de wortels der vergelijking (1) omge- 

 vende, want voor a — bestaat zij uit die w-punten zelf. 

 Neemt et toe, dan zal er eindelijk eene waarde van a be- 

 reikt worden, waarvoor de i2-lijn door een van de wortels 

 der afgeleide vergelijking gaat. Dit zal alleen kunnen plaats 

 hebben, als twee van de gesloten takken elkaar genaderd 

 zijn, want twee punten van eenzelfden gesloten tak kunnen 

 nooit tot elkaar naderen daar elke nieuwe i^-lijn al de 

 vroegere moet omgeven, omdat geen twee i^-lijnen door 



