( 395 ) 



,.. , d*B d*R ,.., 

 ninium ontbreekt, namelijk dat — - en — - gelijke teekens 



du? dy 2 



hebben. *) 



Ter loops zij opgemerkt, dat voor de functiën X, Y en $ 



hetzelfde geldt, behalve dat deze ook geen minima hebben 



in de wortels der gegeven vergelijking; X en F worden daar 



gelijk aan en $ onbepaald. 



Uit het bovenstaande volgt nu deze eigenschap : 



I. Elke gesloten tak van eene R-lijn, die p ivo'rtels van 



de vergelijking (1) omvat, omgeeft p — 1 wortels van hare af- 



Want gesteld, dat dit op een oogenblik het geval is 

 — en dit is zoo voor zeer kleine waarden van a, waarbij 

 elke tak één wortel van de vergelijking en geen enkelen wortel 

 van de afgeleide omgeeft — , dan zal het steeds zoo blijven. 

 Op het oogenblik namelijk, dat twee takken hun inhoud 

 samenvoegen, nemen zij eenen wortel van de afgeleide in zich 

 op. Bevatte nu de eerste p, en de tweede q wortels van 

 de vergelijking (1), dan zou het aantal wortels van de 

 afgeleide, dat zij te samen bevatten p -f q — 2 zijn, het- 

 welk met de nieuw opgenome vermeerderd weer p + q — 1 

 geeft, zoo als behoort, zal de stelling waar blijven. 



12. De stelling T kan reeds als eene uitbreiding van het 



*) Mochten ook de tweede afgeleiden alle verdwijnen, zoo als in een 

 dubbelen of meervoudigen wortel der afgeleide, dan is de- voorwaarde 

 voor een maximum of minimum, dat de eerste afgeleide, die niet ver- 

 dwijnen, van evene orde zij en als die orde 2p is, dat de vergelijking in ) 



dhR , i dïvR n , 2 d 2 pR ,„ n , dh>R rt 



dyïp ^ v 1 f dfP-ldx dfP-W d*Px 



geen enkelen reëlen wortel: beeft. Blijkens het bovenstaande heeft deze 

 vergelijking hier echter altijd enkel reëele wortels, zoodat van een maxi- 

 mum of minimum ook dan geen sprake kan zijn. 



Daar R op oneindigen afstand overal -\- oo is, moet er ergens een mi- 

 nimum van R zijn. Uit het bewezene volgt, dat zulk een minimum al- 

 leen mogeiijk is voor R — 0, waarmede de hoofdeigenschap der hoogere- 

 machts vergelijkingen bewezen is. 



