( 396 ) 



theorema van Rolle worden opgevat. Immers, zijn al 

 de coëfficiënten der vergelijking f (z) = reëel, dan is de 

 figuur door de iMijnen gevormd symmetrisch ten opzichte 

 van de #-as. De wortels van de afgeleide kunnen alleen 

 op de #-as of symmetrisch ten opzichte van die as lig- 

 gen, met andere woorden, zij kunnen alleen reëel of ge- 

 conjugeerd imaginair zijn. Beschouwen wij nu twee reëele 

 wortels van de vergelijking (1); Aanvankelijk worden deze 

 ieder door een gesloten kromme omgeven, die de ar- as tus- 

 schen de beide wortels moet snijden. Deze twee takken 

 zullen vroeg of laat, hetzij direct, hetzij nadat zij andere 

 takken in zich hebben opgenomen, elkander moeten naderen, 

 en daar dit niet in twee punten tegelijk geschieden kan, 

 moet het punt waar dit plaats heeft, op de ar-as liggen. Er 

 kunnen ook meer wortels van de afgeleide tusschen twee 

 wortels van (1) op de ar-as gelegen zijn. Het kan namelijk 

 gebeuren, dat de kromme, die aanvankelijk ieder één van 

 twee geconjugeerde wortels van f(z) =. omgaven, elkaar 

 op de a--as ontmoeten, waardoor zich een gesloten kromme 

 tusschen de twee oorspronkelijk naast elkaar gelegen wortels 

 in plaatst» Er moeten dan, behalve de ontmoeting, die reeds 

 heeft plaats gehad, nog twee andere ontmoetingen voor- 

 vallen, vóór de beschouwde wortels binnen dezelfde kromme 

 lijn liggen. Men ziet gemakkelijk, dat in elk geval het 

 aantal tusschen gelegen wortels van de afgeleide oneven 

 moet zijn. Zijn al de wortels reëel, dan kan zulk een tus- 

 schenschuiven van eene gesloten kromme niet plaats hebben, 

 en kan er dus tusschen eik paar wortels van de vergelij- 

 king (1) slechts één wortel van de afgeleide liggen. 



13. Met meer recht kan noch een andere eigenschap als 

 eene uitbreiding van het theorema van Rolle worden beschouwd. 

 Deze eigenschap gaan wij nu afleiden, waartoe wij de ^-lijnen 

 nader gaan beschouwen. 



Elke $-lijn bestaat uit u takken, die. als zij geen wortel 

 van de afgeleide ontmoeten, elk van een wortel van de ver- 

 gelijking (1) uitgaan en, zonder zichzelf of elkaar te snijden, 

 zich tot in het oneindige uitstrekken. Alleen van de ^-lijnen, 

 die door een wortel van de afgeleide gaan, snijden in dat 



