( 398 ) 



de vergelijking (1). Het kan echter ook gebeuren, dat het 

 wel een van de punten is, die vroeger reeds door een wor- 

 tel van de afgeleide gegaan zijn, en dan is het een tak van 

 dezelfde $-lijn, die nu van den vroeger gepasseerden wortel 

 van f (z) = uitgaande, door een tweeden wortel van die 

 vergelijking heen zich naar een nieuwen wortel van f(z) = 

 begeeft, echter niet zonder weer aan weerskanten in lood- 

 rechte richting een nieuwen tak uit te zenden, die zich in 

 het algemeen tot in het oneindige zal uitstrekken. 

 Uit dit alles blijkt nu de volgende eigenschap : 



II. Er zijn n — 1 $-lijnen, die in het algemeen telkens 

 twee wortels van de vergelijking f(z) = verbinden, zoodanig, 

 dat al die punten samenhangen, en nergens een gesloten keten 

 wordt gevormd. Op ieder van die ^-lijnen ligt een wortel 

 van f (z) = 0. Het kan echter ook gebeuren, dat een of meer 

 uiteinden van deze verbindende ^-lijnen niet in een wortel van 

 f(z)=z0, maar in een wortel van ƒ' (z) = liggen, in welk 

 geval deze $-lijn loodrecht staat op die, waarop deze wortel 

 van f (z) = gelegen is. 



14. Men kan deze eigenschap ook zoo uitdrukken: 



III. Er zijn 2 w — 2 begrensde ^-lijnen, die telkens een 

 'wortel van f (z) =r met een wortel van f (z) = 0of ook 

 wel twee wortels van deze laatste vergelijking met elkaar ver- 

 binden, zoodanig, dat al de punten tot een samenhangend ge- 

 heel zijn verbonden, maar nergens een gesloten keten gevormd 

 wordt. In de wortels van f' (e) == liggen er steeds twee in 

 eikaars verlengde. Komt in zulk een punt nog een derde lijn 

 uit, dan staat deze loodrecht op de beide anderen, en is er 

 nog een vierde, dan vormen zij een rechthoekig kruis. Meer 

 dan vier kunnen er bij de gemaakte onderstellingen niet in een 

 zelfden icortel van de afgeleide samenkomen. Liggen eenige 

 van deze 2 n — 2 verbindingslijnen in eikaars verlengde, zoodat 

 zij beschouwd kunnen worden als eene doorloopende lijn, dan 

 ligt tussche?i elke twee wortels van de oorspronkelijke vergelij- 

 king een oneven aantal wortels van de afgeleide. 



Om dit laatste in te zien, merke men op, dat R in de 

 beide wortels van (1) een minimum is, er moeten dus daar- 

 tusschen één maximum, of' b. v. q maxima en q — 1 minima 



