( 399 ) 



liggen, terwijl aan elk maximum of minimum een wortel 

 van f (z) =: beantwoordt en omgekeerd. In eiken wortel 

 van de afgeleide, waar R een minimum is, moet een kruis- 

 punt van verbindingslijnen liggen. 



Zijn al de coëiïiciënten van de vergelijking reëel, dan is de 

 #-as een tak van de kromme $ = 0. Het laatste gedeelte 

 van III. gaat dus over in het theorema van Rolle. Liggen 

 er 2 q -f- 1 wortels van de afgeleide tusschen twee op elkaar 

 volgende wortels van (1), dan zijn er daar q onder, waar 

 R in de richting van de a?-as een minimum is, en door elk 

 van die q punten gaat de verbindingslijn van twee imagi- 

 naire wortels. Uit deze omstandigheid volgt dus ook onder 

 anderen op deze wijze het bestaan van 2q imaginaire wortels. 



15, Ook nog op de volgende wijze laat zich de bewezen 

 eigenschap formuleeren : 



IV. Van eiken wortel der vergelijking f (z) =. kan een 

 beweegbaar punt op ééne wijze een anderen willekeurigen wortel 

 dier vergelijking bereiken, zonder de ^-lijnen te verlaten. Het 

 zal daarbij tusschen elke twee wortels van de vergelijking, die 

 het passeert, minstens één wortel van de afgeleide ontmoeten. 



Het aantal van de wortels der afgeleide, waardoor het be- 

 weegbare punt tusschen twee wortels van de vergelijking zelve 

 moet heengaan, zonder daar plotseling van richting te veran- 

 deren, is altijd oneven. 



16. Tot nog toe hebben wij ondersteld, dat noch de 

 vergelijking, noch hare afgeleide gelijke wortels hadden. 

 Heeft echter de vergelijking twee gelijke wortels, dan blijft 

 het bovenstaande toch doorgaan, alleen bestaat de i£-kromme 

 dan aanvankelijk uit n — 1 takken, waarvan er één de beide 

 samenvallende wortels omgeeft en tevens den wortel van (2), 

 die, zooals bekend is, daarmede samenvalt. Wel gaan er 

 van dit punt twee takken van iedere $-lijn uit, maar dit 

 verandert niets aan de redeneering. 



De stellingen I, II, III en IV blijven dus in dit geval 

 waar, mits men in II en III n door n — 1 vervangt. Ook 

 wanneer meer paren gelijke wortels voorkomen, of drie of 

 meer wortels samenvallen, blijft alles met eene dergelijke 

 wijziging doorgaan. 



VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 2de REEKS. DEEL XIX. 2? 



