( 400 ) 



17. Anders is het, wanneer de afgeleide vergelijking twee 

 gelijke wortels heeft. Wel blijven ook dan de stellingen 

 met eene geringe wijziging waar, maar de bewijzen vorderen 

 eenige aanvulling. 



Gaan wij na, wat er in een dubbelen wortel van de afge- 

 leide gebeurt bij het samenvallen der i?-lijnen. Daar er een 

 drievoudig punt moet ontstaan, moeten drie takken van de 

 i2-lijn in dat punt samenkomen. De drie punten, die elkaar 

 hier ontmoeten, bereiken het punt volgens richtingen, die 

 hoeken van 120° met elkaar maken, en verwijderen zich 

 volgens richtingen, die deze hoeken middendoor deelen. Een 

 dubbele wortel van f (z) = is dus in den regel met drie 

 wortels van f(z) = verbonden. Een van de verbindings- 

 lijnen kan echter ook van een wortel van f' (z) = zijn 

 uitgegaan, maar dan van een zoodanigen, waar R in de 

 richting van de beschouwende $-lijn een minimum is, en 

 die dus zijdelings weer met andere wortels van f(z) = 

 verbonden is. Ook de directe voortzettingen van de drie 

 samenkomende takkeu der$-lijn kunnen natuurlijk weer andere 

 wortels van f (z) =z ontmoeten. 



Van de vier gevonden eigenschappen, waarvan de drie laatste 

 slechts verschillende iukleedingen van eene zelfde eigenschap 

 zijn, blijft de eerste onveranderd waar, mits slechts de twee 

 samenvallende wortels voor twee geteld worden. Aan de 

 tweede moet het volgende worden toegevoegd. 



II a . Als twee wortels van f' (z) = samenvallen, worden 

 twee van de n — 1 ^-lijnen vervangen door drie in den dubbe- 

 len wortel eindigende lijnen, die dan behalve deze geen wortel 

 van f (z) = bevatten. 



De algemeene stelling blijft doorgaan, wanneer men twee 

 van die lijnen als eene enkele geknakte lijn beschouwt, en 

 de derde als een tweede verbindingslijn opvat. Van de twee 

 samenvallende wortels moet dan één beschouwd worden als 

 op de eerste en één als op de tweede verbindingslijn gele- 

 gen te zijn. Ook kan men een van de drie takken dubbel 

 in rekening brengen, en eens met den eenen en eens met 

 den anderen van de beide overblijvende takken te zamen 

 als eene doorloopende verbindingslijn opvatten, terwijl wee] 



