(401 ) 



op ieder van deze een van de twee samenvallende wortels 

 ligt. Tot deze laatste beschouwingswijze komt men, als 

 men dit geval als een grensgeval van het algemeen geval 

 beschouwt, waarbij twee wortels van (2), die met een zelf- 

 den wortel van (1) verbonden waren, samenvallen. Beschouwt 

 men het als een grensgeval, waarbij twee met elkaar ver- 

 bonden wortels van (2) samenvallen, dan komt men tot de 

 eerste opvatting. Twee noch met elkaar, noch met een 

 zelfden wortel van (1) verbonden wortels van (2) kunnen 

 nooit door eene geleidelijke verandering der coëfficiënten tot 

 samenvallen gebracht worden, zonder dat het systeem der 

 verbindingslijnen eene verandering ondergaat, daar anders 

 een gesloten keten van verbindingslijnen ontstaan zou. Er 

 moeten dus vooraf of gelijktijdig, andere samenvallingen 

 van wortels of ^-lijnen plaats hebben. 



De eigenschap III moet aldus worden aangevuld: 



III a . Teder paar samenvallende wortels van de afgeleide 

 doet het aantal lijnen met één, ieder paar samenvallende wor- 

 tels van de vergelijking zelve, doet het met twee verminderen. 

 In een dubbelen wortel van de afgeleide liggen nu niet meer 

 altijd twee lijnen in eikaars verlengde, maar er zijn er altijd 

 drie, die elkaar onder hoeken van 120° ontmoeten. Er kun- 

 nen in zulk een punt hoogstens nog drie samenkomen, en 

 deze deelen dan ieder een van de hoeken tusschen de andere 

 middendoor. 



Het laatste gedeelte van de stelling blijft onveranderd, 

 mits men de samenvallende wortels voor twee telt, daar in 

 deze punten R noch maximum noch minimum is. 



Van de eigenschap IV vervalt in dit geval het laatste ge- 

 deelte. 



18. Het is duidelijk, wat er gebeuren zal, als drie van de 

 wortels der afgeleide vergelijking samenvallen. Hier bereiken 

 vier gesloten takken van de i^-lijn tegelijk hetzelfde punt, 

 en gaan voor een oogenblik in eene lijn met een viervoudig 

 punt en daarna in een enkelen gesloten tak over. De be- 

 wezen stellingen blijven ook hier met geringe wijziging door- 

 gaan. De drievoudige wortel van de afgeleide is dan in den 

 regel met vier wortels van f (z) = verbonden, door kruis- 



27* 



