( 405 ) 



dan bevatten twee van de vier takken ieder twee wortels en dê 

 beide andere niet, en zoo vervolgens. 



22. Bij een vergelijking met reëele coëfficiënten is de X-as 

 altijd een tak van de lijn Y= 0. Als de vergelijking dus 

 meer dan een reëelen wortel heeft, moet de ,r-as door een of 

 meer wortels van de afgeleide gaan, en wel zoo, dat er tus- 

 schen elke twee reëele wortels van de vergelijking minstens 

 één reëele wortel van de afgeleide ligt. Zijn al de wortels 

 reëel, dan moeten n — 1 takken van de lijn Y=:0 de #-as 

 rechthoekig snijden, en, daar zij elkander niet snijden kun- 

 nen, het vlak in n strooken verdeelen. Van deze strooken 

 bevat ieder een tak van de lijn InO, daar deze nergens 

 de andere takken der lijn Y=z kunnen snijden. Deze X-lijn 

 verdeelt dus ook het vlak in n -f- 1 strooken, die, behalve 

 de twee buitenste, ieder slechts aan eene zijde begrensde, 

 elk een wortel van de afgeleide bevatten. 



23. Dit laatste is ook weer een bijzonder geval van eene 

 algemeenere eigenschap, welke wij nu gaan bewijzen. Zij 

 luidt als volgt: 



VII. Elk X- of Y-lijn, die niet door een wortel van de 

 afgeleide gaat, en dus uit n gescheiden takken bestaat, ver* 

 deelt het vlak in n -f- 1 deelen, en m ieder- van die deelen 

 bedraagt het aantal wortels van de afgeleide één minder dan 

 het aantal takken, dat tot de begrenzing van dat deel mede- 

 iverkt. 



Het is in de eerste plaats duidelijk, dat deze eigenschap 

 geldt voor zeer groote positieve of negatieve waarden van 

 y of d. Immers, deze waarden kunnen steeds zoo groot ge- 

 nomen worden, dat de n takken, waaruit dan de X- of Y-lijn 

 bestaat, ieder een deel van het vlak afsnijden, dat geen wor- 

 tel van de afgeleide bevat. Deze n deelen worden ieder door 

 één tak begrensd, en het overblijvende deel dat al de n — 1 

 wortels der afgeleide bevat, wordt begrensd door al de takken. 

 Er blijft nu nog aan te toonen, dat als de regel voor eene 

 of andere waarde van / of d geldt, zij voor alle waarden 

 zal blijven gelden. Gaan wij daartoe na, wat er gebeurt, 

 als bij het toenemen van / of 5 de X- of F-]ijn een wor- 

 tel van de afgeleide overschrijdt. Het is duidelijk, dat alleen 



