( 407 ) 



hadden, zich achtereenvolgens met elkaar vereenigen en een 

 nieuw centraal deel vormen 



Hiermede is de stelling bewezen, voor zoo ver er geen 

 dubbele of veelvoudige wortels van f(z) — voorkomen. 

 Is dat wel het geval, dan blijft het bewijs met eene geringe 

 verandering toch doorgaan. In een dubbelen wortel worden 

 namelijk drie deelen van het vlak tot één vereenigd, en nemen 

 den dubbelen wortel in zich op, terwijl een ander deel den 

 dubbelen wortel verliest en bij die gelegenheid in drie dee- 

 len verdeeld wordt. In een drievoudigen wortel worden vier 

 deelen tot een vereenigd, terwijl een ander deel in vier dee- 

 len wordt verdeeld en zoo vervolgens *). 



Bij sommige vergelijkingen zijn er waarden voor / of 8 te 

 vinden, waarbij de deelen van het vlak ieder door twee tak- 

 ken begrensde strooken zijn met uitzondering van cle beide 

 uiterste. Dit is onder anderen het geval bij alle tweede en 

 derde-machtsvergelijkingen, en zoo als wij zagen, bij verge- 

 lijkingen met n reëele wortels, echter op voorwaarde, dat de 

 afgeleide vergelijking geen gelijke wortels hebbe, wat bij 

 derde-machtsvergelijkingen zou kunnen voorkomen. 



24. Stellen wij ons eene vergelijking voor met wortels, 

 die alle reëel of aan de positieve zijde van de .?-as f) gelegen 

 zijn. De waarde van R is het product van de modulen van 

 de verschillende wortelfactoren z — a, waarin a een wortel 

 voorstelt. Voor alle reëele wortels is die modulus in twee 

 ten opzichte van de ^r-as symmetrisch gelegen punten ge- 

 lijk, en voor de andere is hij kleiner in punten aan de posi- 

 tieve, dan in de overeenkomstige punten aan de negatieve 



*) De hier bewezen eigenschappen voor de X- en /-lijnen gelden ook 

 en worden op dezelfde wijze bewezen voor de lijnen: 



fX + gT=s. 



waarin f 3 g en . : reëele constanten voorstellen. Deze lijnen kunnen trou- 

 wens tot X- of J-lijnen gemaakt worden door de vergelijking met eene 

 complexe constant te vermenigvuldigen. 



Tot deze lijnen behooren al de 4> lijnen wanneer men twee 4> lijnen, 

 waarvoor (3 een verschil van T / 2 7r heeft als eene enkele lijn beschouwt. 



f) Dat is aan die zijde waar de waarden van y positief zijn. 



