(410 ) 



De wortels kunnen alle reëel zijn en dus op de ^r-as liggen ; 

 een ligt er dan tusschen, en één binnen ieder van de takken 

 der hyperbool. Of een van de wortels is reëel, en de beide 

 andere zijn geconjugeerd. De eerste ligt nu op de x-as, de 

 beide andere op een van de takken der hyperbool. Hier 

 hebben wij dus het geval, dat twee van de wortels door eene 

 $-lijn zijn verbonden, en de wortel van de afgeleide, die op 

 deze verbindingslijn gelegen is, door een anderen wortel van de 

 afgeleide heen met een derden wortel der vergelijking. Zal dus 

 dit geval zich voordoen, dan moeten de drie wortels van de 

 vergelijking in de hoekpunten van een gelijkbeenigen drie- 

 hoek liggen Deze driehoek moet echter nog aan een be- 

 paalde voorwaarde voldoen. Immers zijn x 1 de reëele x 2 ± iy 2 ^ e 

 imaginaire wortels der vergelijking, en noemen wij de pun- 

 ten, die deze wortels voorstellen P Q en P, dan is Q 7ü 2 = 4 y<^, 

 PW> = PQ* = y^ -f (x 1 — % )2, of, daar x 1 = — 2 x 2 is, 

 PQ 2 = ?/ 2 2 f 9 x 2 2 . Het punt x 2 y 2 ligt echter op de hy- 

 perbool 15), zoodat 



PQ 2 = 12 # 2 2 — 3 a*, 

 QR2 = 12# 3 2 — 12 a 2 . 



De laatste waarde is derhalve altijd kleiner dan de eerste, 



de basis van den gelijkbeenigen driehoek is kleiner dan een 



van de opstaande zijden. Deze voorwaarde is echter ook vol- 



12 xj— 3 a 2 , 



doende, want de verhouding — — — — - kan alle waarden 



12 x 2 z — 12 a z 



tusschen 1 en oo aannemen, daar x 2 2 van a % tot oo vari- 



eeren kan voor verschillende waarden van h. 



Een gelijkbeenige driehoek, waarvan de opstaande zijden 



kleiner zijn dan de basis, zou bij den hier aangenomen stand 



der coördinaten zoo komen te liggen, dat de basis evenwijdig 



met de #-as liep; b zou in dat geval gelijk aan nul zijn. 



De twee ^-lijnen, die dan ieder door een wortel der afgeleide 



gaan, liggen in dat geval symmetrisch ten opzichte van de 



y-as. Zij verbinden ieder een van de uiteinden van de 



basis met den top van den driehoek. Het zijn beide lijnen 



van den derden graad. 



