( 422 ) 



aïs volgt worden aangetoond. De lijnen VU en TW zijn 

 evenwijdig, daar ze niet P VW antiparallel zijn. Uit gelijkvor- 

 mige driehoeken, die zich onmiddellijk laten aanwijzen, volgt 



ou or or ov 1 ou ov 1 



nU OÏÏ = OT en ÖT=~OP 6n duS °° k ÖW=-Ö?\ 

 zoodat de lijnen UV Y en WP evenwijdig loopen. Dus is 

 PVUV 1 een ruit en eveneens W Y TWP; bovendien zijn 

 deze vierhoeken gelijkvormig en gelijkstandig met het punt 

 O tot gelijkvormigheidspunt ; dus liggen de punten R en S 

 als de middelpunten dier ruiten met op een rechte lijn 

 en gaat de hyperbool H (OA, OB ; P) door Q. Eindelijk 

 is dan ook duidelijk, dat OP en PVW antiparallel zijn en 

 PVW dus de raaklijn in P aan de bedoelde hyperbool is. 



Het behoeft nauwlijks gezegd te worden, dat ik met deze 

 stelling niet de bedoeling heb een constructie aan te wij- 

 zen van de raaklijn in P aan de gelijkzijdige hyperbool 

 H (OA, OB; P, Q), die met behulp van 2) reeds zoo ge- 

 makkelijk gevonden wordt. Zooals aanstonds blijken zal, heb 

 ik ze alleen gegeven om de herkenning van een bepaalde 

 lijn als de raaklijn in een punt aan een bepaalde hyperbool 

 te vereenvoudigen. 



4. »Door het middelpunt M eener gegeven kegelsnee K 

 (fig. 3), de oneindig ver gelegene punten A en B van de 

 assen en een willekeurig punt P x dier kromme kan men 

 vier kegelsneden brengen, die K in een van P l verschillend 

 punt aanraken. De raakpunten van K met deze vier kegel- 

 sneden, die, zooals bekend is, gelijkzijdige hyperbolen zijn, 

 zijn de snijpunten van K met een gelijkzijdige hyperbool, 

 die, als P 3 ne ^ °P ^ diametraal tegenover P 1 gelegen punt 

 voorstelt, door het teeken H (P%A, P 2 B ; M) is gekenmerkt. 

 Elk dier vier kegelsneden snijdt K nog in een vierde punt, 

 telkens gelegen op de raaklijn in het raakpunt van die ke- 

 gelsnee met K aan de hyperbool H (P%A, P%B; M) ge- 

 trokken." 



Deze stelling zal zijn aangetoond, zoodra slechts geble- 

 ken is, dat ieder snijpunt P van IC met de hyperbool 

 H(P%A, P 2 B\M) een punt is, waarin K aangeraakt 

 wordt door een kegelsnee van den bundel, die de punten 



