( 423 ) 



j\f, A, B, P x tot basispunten heeft, en omgekeerd ieder punt, 

 waarin K door een kromme van dien bundel wordt aange- 

 raakt op de hyperbool II(P 2 A, P%B; M) gelegen is. 



Zoeken we de verbindingslijn van de beide nog onbekende 

 snijpunten van K met de kromme uit den bundel, die door 

 een der vier snijpunten van K met H (P 2 A, P 2 B\ ilf), het 

 punt P, gaat, welke kromme kortheidshalve door H p mag 

 worden aangeduid, dan doen we dit aan de hand van Joa- 

 chimsthal *) met behulp van de stelling, dat drie kegel- 

 sneden, die twee punten gemeen hebben, elkaar twee aan 

 twee nog in drie paren van punten snijden, waarvan de 

 verbindingslijnen door een punt gaan. Beschouwen we 

 daartoe eerst iT, Hp en de vereeniging der rechte lijnen 

 P T en M P x , die de punten P en P x , gemeen hebben, dan 

 vinden we dat de gezochte verbindingslijn door het snijpunt 

 V van PP 2 en MA moet gaan; beschouwen we daarna 

 iT, E p en de vereeniging der rechte lijnen P U en M P 1? 

 die eveneens de punten P en Pj gemeen hebben, dan vin- 

 den we, dat de gezochte verbindingslijn ook door het snij- 

 punt W van P 3 U met 'M B moet gaan. Zoodat V W 

 deze verbindingslijn voorstelt. Maar met betrekking tot de 

 hyperbool H (P 2 A, P 2 B; P, M) is de lijn V W blijkens 3) 

 de raaklijn in het punt P; dus gaat de koorde V W door 

 F en valt een der beide nog onbekende snijpunten van K 

 en H p met P samen, zoodat H en K p elkaar in P aanra- 

 ken. En wijl nu V W de raaklijn in P aan de hyper- 

 bool H{Pc l A^ P<iB; P,M) is, ligt het vierde snijpunt van 

 7i en Hp op de raaklijn in P aan H(P 2 A,P 2 B;P, M). 



Nemen we omgekeerd aan, dat P het raakpunt is van K 

 met een kromme van den beschouwden bundel, dan wordt 

 ook zonder moeite aangetoond, dat P op de hyperbool 

 H(P 2 A,P 2 B;M) ligt. Want dan ligt het punt M vol- 

 gens het tweede gedeelte van stelling 3) op de hyperbool 

 H(P 2 A, P 2 B;P), enz. 



5. »De ontwondene van een kegelsnee met een middel- 



*) Journal van Crelle, Band 26, Seite 172, 



