( 4 ) 



verwijdering zelve buiten beschouwing te laten. Daar wijders 

 de beide oppervlakken in alle punten der geodetische lijn PP 2 de 

 normalen gemeen hebben, blijkt dat zij niet alleen tusschen 

 P en P, eene volstrekt gemeenschappelijke geodetische lijn op- 

 leveren, maar tevens met verwaarloozing van kleinen van hooger 

 orde gemeenschappelijke doorsneden met de twee normaalvlak- 

 ken aldaar Zoodoende wordt het bewijs voor een willekeurig 

 oppervlak teruggebragt tot dat voor een daardoor bepaald ontwik- 

 kelbaar oppervlak. Gaat men nu tot de ontwikkeling van dit 

 laatste op een plat vlak over, dan blijven de eindige hoeken on- 

 veranderd van grootte, terwijl de geodetische lijn PP 4 eene 

 regte wordt (Pig. 1} en de in P en in Pj normale doorsneden in 

 kromme lijnen Vp P, en P^P overgaan die respectievelijk in P 

 en in P, buigpunten zullen vertoonen "* . Bovendien zullen deze 

 krommen zich voordoen aan de tegengestelde zijden van hare 

 gemeenschappelijke koorde P P : immers het bestaan van het 

 buigpunt in P wijst uit dat de kromme P/?P 1 , achterwaarts 

 verlengd, op een afstand PP' genoegzaam gelijk aan PP nog 

 een snijpunt P met de verlengde P P zou opleveren en dus 

 vooreerst door de normaal in P, maar overigens even goed door 

 het achterwaartsche punt P' als door het voorwaartsche punt 

 P kan worden bepaald, dat is op dezelfde wijze als in P J de 



*) Denkt men zich in het algemeen voor eenig punt P eener willekeurige kromme 

 M P Q op een ontwikkelbaar oppervlak de beschrijvende lijn P S, de wederzijdsche 

 gelijke elementen MP en PQ en het verlengde P M' van het eerste dezer ele- 

 menten, maakt men in het vlak SPM' den hoek SP^ gelijk SPQ en neemt men 

 P^PM'-PQ, dan blijkt uit den oneindig kleinen regthoekigen driehoek M' Qy 

 dat de door den contingentiehoek M' P q of door de regthoekszijde M'q gemeten 

 kromming der ontwikkelde kromme M P q gelijk is aan de door den contingentie- 

 hoek M'PQ of door de hypotenuse M' Q gemeten kromming der oorspronkelijke 

 kromme M PQ maal den cosinus van den door het krommingsvlak M'PQ dezer 

 kromme met het raakvlak M' P S van het oppervlak ge vormden hoek QM'^. (Zie 

 voor deze eigenschap ook een bewijs van f. minding in CHELLE's Journal Jur 

 Mathematiki I6er Hand, 1837, pag. 351; van e. catalan in de Comptes-rendus 

 de ïacadémie des sciences Tomé 17, 1843, pag. 738 — 739; alsook j. de la gour- 

 NEKIE, Uéomélrie descriptive, 1860—61, Artt. 474 en 819, en p. seuret, Theorie 

 nouvelle des lignes a, doublé courbure, 1860, pag. 8 — 10 en 129 — 130). Staat dus 

 het krommingsvlak in eenig punt P normaal op het ontwikkelbaar oppervlak, dan 

 wordt de kromming van de ontwikkelde kromme in het overeenkomstige punt gelijk 

 nul, dat is deze kromme heeft aldaar een buigpunt, zooals ook regtstreeka daaruit 

 blijkt dat voor ieder dergelijk punt P de wederzijdsche elementen M P en PQ 

 oj) het oppervlak gelijke hoeken met de beschrijvende lijn P S moeten maken. 



