( 5 ) 



kromme P p P door de normaal aldaar en door het achter- 

 waartsche punt P bepaald wordt : en nu moeten» behoudens te 

 verwaarloozen verschillen van hooger orde, bij den overgang van 

 P naar P de overeenkomstige krommen P//P' en P p P niet 

 alleen gelijk en gelijkvormig, maar ook gelijkstandig zijn. Maakt 

 men verder gebruik van de opmerking dat juist in een buig- 

 punt de algemeene eigenschap, volgens welke eene koorde eener 

 willekeurige kromme met de raaklijnen in hare uiteinden kleine 

 hoeken maakt wier grensverhouding gelijk de eenheid is, eene 

 uitzondering ondergaat en dat daar namelijk de hoek in het 

 buigpunt zelf de helft is van den onmiddellijk volgenden, (ge- 

 lijk zoo straks uit eene eenvoudige berekening nader zal blijken), 

 dan volgt hieruit dat Z> PPl = Z/ PP = iZ?' FP en 

 dus behoudens een verschil van hooger orde ook — i^Z/JiPPi is, 

 en evenzoo dat Z p¥J? =Z^ PF =Z^ PP 1 = £ Z/ ?P , Pis » 

 waarmede het gestelde is bewezen. 



2°. Gaat men evenwel na deze algemeene beschouwing van 

 twee willekeurige nabijgelegen punten P en P j over tot de on- 

 derstelling dat zij zoodanig geplaatst zijn dat hunne normalen 

 elkander snijden, dan vallen de twee normaaldoorsneden in eene 

 enkele zamen die dan in de ontwikkeling zoowel in P als in 

 Pi een buigpunt vertoont. Deed zich nu in dit bijzondere ge- 

 val evenals in het algemeene deze gemeenschappelijke doorsnede 

 van P afgerekend geheel op dezelfde wijze voor als van P in 

 denzelfden zin uitgaande, dan zou weder naast de kromme met 

 twee buigpunten in P en in P eene gelijke, gelijkvormige en 

 gelijkstandige met twee buigpunten in P' en in P zijn te tee- 

 kenen. Maar dit is hier het geval niet : van P uit beschouwd 

 is de kromme bepaald door de normaal aldaar en de daarop in 

 P volgende, van V i uit beschouwd door de normaal aldaar en 

 de daaraan in P voorafgaande, daar toch eene volgende nor- 

 maal die van P 2 niet snijdt. Van daar dat thans in P eene 

 herhaling der kromme in denzelfden voortgaanden zin als in P 

 niet in aanmerking komt, maar in teruggaanden zin, in over- 

 eenstemming met het zamenvallen der beide krommen tot eene 

 enkele. 



3°. Een ander bijzonder geval dat nog in aanmerking kan 

 komen is dat waarin niet de normaal van het, ofschoon op 



