( 21 ) 



Bij het uitwerken van deze differentialen komen X, Y, Z als con- 

 stanten voor en x, ij, z als veranderlijken, zamenhangende vooreerst 

 door de betrekking dy — kdx en dus dz —pdx + qdy =(p-{-A,q) dx 

 die de rigting der geodetische lijn bepaalt, ten andere door de 

 differentiaalvergelijking van deze lijn als uitdrukking van de 

 hoofdeigenschap dat het punt {x + 2dx -f- d 2 x, y + %dy + d?y, 

 z + 2dz + órz) moet genomen worden in het platte vlak be- 

 paald door het punt (a, y, z) en door de normaal van het punt 

 (a -f- da, y -(- dy 9 z -f- dz). Merkt men echter op dat in de 

 formulen voor y — y' en y"- — y bij den kegel de lengten / en l x 

 die den top en den stand der as bepalen verdwenen zijn, dan 

 blijkt dat wat deze berekening betreft alles slechts op den 

 halven tophoek § en op den hoek y zou aankomen. 



In plaats evenwel van deze berekening moge thans een ana- 

 lytisch onderzoek volgen op het willekeurig gegeven oppervlak 

 zelf. Voor de raaklijn in P van de geodetische lijn als X as 

 en de normaal van het oppervlak als Z as van een regthoekig 

 coördinatenstelsel is volgens de reeks van taylor in de nabij- 

 heid van dezen oorsprong P de vergelijking van het oppervlak : 



z — —(rx 2 -i- 2 sxy + ty 2 ) + -(ua* -r ( óva 2 y 4- 3v t xy* 4- u x y % ) 4- 

 2 6 



-f- — (wV+4i- x*y*\- 6w'a 2 y 2 -t- 4*v' x ay* 4- ^j 4 )4- (a"# 6 4-enz.)4-enz., 



waarin als coëfficiënten voorkomen de waarden die de opvolgende 

 partiële diflerentiaalquotienten van z ten opzigte van a en y in 

 den oorsprong verkrijgen. De projectie der geodetische lijn 

 op het vlak XY dat loodregt op haar krommingsvlak XZ in 

 P staat zal, volgens eene algemeene eigenschap, in P zelf een 

 buigpunt vertoonen en dus eene vergelijking van den vorm 

 y = A# 3 -j- B# 4 -|- enz. hebben, zooals ook hieruit blijkt dat als 

 de waarde van y met een term A ar begon, de projectie op 



T 



YZ zou zijn z = y + enz. en dus het krommingsvlak niet 



* A 



