( 116 ) 



dubbel punten van G n allen gelegen moeten zijn op de eerste 



poolkrorame van ieder punt met betrekking tot C n . En daar 



nu het aantal snijpunten van C n met een dier poolkrommen, 



die allen van den n — l sten graad zijn, n (n — 1) bedraagt en 



ieder dubbelpunt van O n voor twee dier snijpunten geldt, is 



n(n — 1 ) 



het aantal dubbelpunten hoogstens . Alleen wanneer 



Z 



G n een meetkundige plaats van dubbelpunten, een dubhelkromme, 



bevat en zij deze kromme (of rechte) met ieder van haar eerste 



poolkrommen gemeen heeft, kan het aantal dubbelpunten groo- 



n (n — 1) . ■" 



ter worden dan ; dan is het steeds oneindig groot. 



» 



Aan de andere zij verdient het vermelding, dat het aantal 

 dubbelpunten eener samengestelde kromme C n minstens n — 1 

 bedragen moet. Want bestaai de samengestelde kromme uit enkel- 

 voudigen van den Z den , m den , . . . . p den en n — (/ + m . . . . + ^) de n 

 graad, dan zal het aantal dubbelpunten alleen kunnen vermin- 

 deren , wanneer men de krommen van den / den , m Aen . ... en 

 pden graad gezamenlijk door een enkelvoudige kromme van den 

 l -\- m + . . . p = & den graad zonder dubbelpunten vervangt ; 

 in welk geval C n nog samengesteld blijft en zij minstens de 

 snijpunten van de samenstellende deelen nog tot dubbelpunten 

 heeft. Het aantal fc (n — k) dier punten wordt echter zoo klein 

 mogelijk, wanneer A de kleinste waarde heeft, d.i. omdat C n 

 samengesteld blijven moet, wanneer k de eenheid is. En dan 

 gaat k (n — k) in n — i over ; wat met het voorgaande het 

 bewijs oplevert van de volgende stelling: 



//Een kromme C» met d dubbelpunten is enkelvoudig 

 als d <^ n — 1 is, ze kan zoowel enkelvoudig als samen- 



gesteld zijn als n — ■ J ~=^^; ö — is, ze is 



Z 



(n—l) (n — 2) . 



samengesteld als d > is en ze bevat een 



Z 



%(n — 1) . „ 

 dubbelkromme als d > is. 



