( 133 ) 



lijke raaklijnen, die ze kunnen bezitten, gesteld is. Deze zijn 

 allen bestaanbaar. Want zijn van twee kegeisneden de vier 

 gemeenschappelijke punten bestaanbaar dan is hun gemeen- 

 schappelijke pooidriehoek dit ook *) en zijn de vier gemeen- 

 schappelijke raaklijnen of allen bestaanbaar, of allen onbestaan- 

 baar f). En omdat er een, namelijk de gegevene bestaanbaar 

 is, moeten zij dit dus allen zijn. Op deze redeneering is de 

 aanmerking te maken, dat de beide stellingen uit wier ver- 

 eeniging zij bestaat wel voor bestaanbare maar niet voor gemengd 

 onbestaanbare kegelsneden zijn aangetoond. Evenwel kan een 

 geringe verandering in het bewijs ze ook voor gemengd onbe- 

 staanbare krommen geldend maken. Werkelijk zijn de drie 

 nog onbekende gemeenschappelijke raaklijnen als volgt te con- 

 strueeren. Men bepaalt de snijpunten A, B en C van de ge- 

 gevene raaklijn met de zijden bc, ca en ah van den gemeen- 

 schappelijken pooidriehoek abc des bundels en trekt door ieder 

 dier snijpunten een lijn, die met de raaklijn een paar lijnen vormt 

 ten opzichte waarvan de op dit punt uitloopende zijde van den 

 pooidriehoek de poollijn is van het niet op die zijde gelegen hoek- 

 punt. Dan zijn de drie zoo verkregen lijnen de verlangde ge- 

 meenschappelijke raaklijnen. 



34. Wanneer een kromme verkregen wordt door gegeven 

 punten en lijnen bepaalde bewerkingen te doen ondergaan en 

 eenige van deze gegevens worden in een bizonder geval onbe- 

 staanbaar, dan zal de kromme die men verkrijgt in het alge- 

 meen gemengd onbestaanbaar worden. Stelt men dan voor de 

 onbestaanbare elementen de aan deze toegevoegden, voor het punt 

 x = a -f- i b, y = c + % d het punt x — a — ib 9 y = c — id, 

 , voor de lijn ax + by -f- c + * {dx + ey 4 ƒ) = eveneens de 

 lijn ax + by -f- c — * ( dti + ey + f)=Q in de plaats, dan 

 zal men een tweede kromme vinden, die met de eerste in een 

 nauw verband staat. 



Heeft namelijk de eerste P + i Q = tot vergelijking, dan 



*) chasles, Traite de* section» coniques, blz. 216 — 219. 

 f) CHASLE8, t. a. p. biz. 232, 233. 



