( 135 ) 



Omdat de dubbelpunten van de involutie, die op een lijn 

 door twee puntenparen a 1 en a 2 , b 1 en b 2 bepaald wordt, be- 

 staanbaar zijn, wanneer de segmenten a Y a 2 en & x b 2 niet over 

 elkaar grijpen (impiéteeren) en deze dubbelpunten onbestaanbaar 

 zijn, wanneer de segmenten dit wel doen *), zijn de zes be- 

 doelde dubbelpunten gemakkelijk op hun bestaanbaarheid te 

 onderzoeken. Wijl het geval, dat een der gegeven punten 

 ö, 6, c op een der raaklijnen SP of SQ ligt, niet hier maar 

 bij de reeds afgehandelde bepaling door vier punten en een 

 raaklijn behoort, kan men drie verschillende gevallen onder- 

 scheiden naarmate de driehoek abc binnen een, twee of drie der 

 vier deelen ligt, waarin de raaklijnen SP en S Q het vlak ver- 

 deden; in het eerste en derde geval zijn de zes dubbelpunten 

 allen bestaanbaar; alleen in het tweede zijn er vier onbestaan- 

 baar en twee bestaanbaar. Zijn a en b binnen denzelfden hoek 

 PSQ gelegen en bevindt zich c daarbuiten, dan zijn alleen de 

 dubbelpunten op ab bestaanbaar. En duidt men nu in dit geval 

 de onbestaanbare dubbelpunten op ac door c^ en cr 2 » die op 

 bc door §i en |S 2 aan, dan zijn de lijnen ot\^\ en « 2 /? 2 en 

 evenzoo de lijnen (*\fl 2 en a 2 ^i toegevoegd onbestaanbaar. 

 Zoodat dit volgens het bovenstaande ook van de oplossingen 

 kan worden beweerd, die met deze raakkoorden overeenkomen. 



Uit de stelling f), dat de poollijnen van S met betrekking 

 tot een paar toegevoegd onbestaanbare oplossingen toegevoegd 

 harmonisch zijn met betrekking tot de gemeenschappelijke koor- 

 den die door het snijpunt dier poollijnen gaan — een stelling 

 die haar recht van bestaan ook hier behoudt — volgt een een- 

 voudige constructie van de twee punten, die ieder op zich zelf 

 met a, b en c de vier gemeenschappelijke punten van het twee- 

 tal paren van toegevoegd onbestaanbare oplossingen vormen. Is 

 weer ab de zijde van den driehoek, waarop de bestaanbare dub- 

 belpunten p en q gelegen zijn, en heeft men — wat zeer ge- 

 makkelijk geschieden kan §) — deze punten geconstrueerd, dan 

 oekt men op ab twee punten p 1 en q l zoodanig dat p x met p 



*) chaslks, Geometrie süpérieare, art.. 206. 

 f) CHASLES, Seetions coniqaes, art. 367. 

 $) chhsles, Geometrie supérieure, art. 202. 



