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ds d 2 s dep 



dt Ifi " = 9 Ti' 



Les équations (3) montrent que la courbe, pour laquelle géné- 

 ralement Fintégrale (1) devient un minimum, est précisément la 

 courbe qui serait décrite par un point matériel libre, sous l'action 

 d'une force dont | qp 2 serait la fonction des forces, et d'après (4) 

 la fonction cp représente la vitesse de ce mouvement. 



Reciproquement il suit de la Ie principe nommé; en effet, 

 quand un point matériel libre est soumis ii l'action d'une force 

 motrice, dont X, Y et Z sont les composantes parallèles aux 

 axes des coordonnées, si Ton y ajoute une force N normale a 

 la trajectoire, les équations du mouvement seront 



^ = X + Ncosa (5) 



cP?/ 



(Pz 



dt* 



Z -f- N cos y, 



oiï les cosinus des angles directeurs cc, ($ et y de la force nor- 

 male doivent satisfaire a la condition 



dx dy r dz 



cos cc -— + cos 3 -— -t- cos y — = 0. 



dt l dt^ dt 



En donnant a N des valeurs différentes, on peut faire décrire 

 au point des courbes différentes entre deux extrémités fixes, 

 parce que les valeurs de x, y et z en fonctions du temps con- 

 tiendront deux constantes arbitraires, et quand 



Xdx -\- Y dy + Zdz = d ip (ar, y, z), 



c'est-a-dire qu'il y ait une fonction ip des forces, en sorte que 

 Téquation des forces vives subsiste, on aura, que N soit nul 

 ou non, dans tous les cas pour la vitesse v la même fonction 

 de x, y et z } savoir 



v 2 — 2 ip (x } y y z) -f- const. 



