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3. Si les fonctions y et z sont assujetties a satisfaire a une 

 équation 



F(x,y,z) = 0, 



(6) 



on a au lieu des deux équations K— 0, ^' = 0, pour la con- 

 dition du maximum ou minimum l'équation 



dF 



K — 



dz 



dF 



dy 



(?) 



Ainsi quand dans Tintégrale (1) les fonctions y et z doivent 

 satisfaire a, (6), l'équation (7) sera la difierence des produits 



dF dF 



de la première (2) par — — et de la seconde (2) par — , ce 



dz dy 



qui, ayant égard que (6) donne 



dj[ d_Fdy dF dz _ 

 dx dy dx dz dx 



se reduit alors a 



(dcpdF dcpdF\ IdcpdF d^dV\dy IdcpdF dcpdF\dz 

 \dy dz dzdyj \dzdx dxdzjdx \dxdy dydxjdx" 



_^_rf^ — — — — \ l*±<Py dydtAdF-, 



"ds 2 *-\dx%dz dx^dy) \dxdx 2 dxdx 2 )dxJ 

 dx~* 



ou, en considérant x, y et z comme des fonctions d'une cer- 

 taine variable indépendante t, a 



dcpdF dcpdF\dx IdcpdF dydF\dy IdcpdF dep dF\dz __ 

 dy dz dzdyjdt \dzdx dxdzjdt \dx dy dydxjdt 

 cp \\&yd£ dhdF\h IdhdF d^xdF)dy Id^xdF (PydF]dz) 

 'd^\\dfid Z ~dtZdy]dt + ^ 



dt 2 



I/on voit tout de suite qu'il sera satisfait a cette équation, 

 en posant 



