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 ^ = ^ + *-, (8) 



d?y_ dj , x d_F 



dl 2 dy dy 



d 2 z dep dF 



dt z dz dz 



X étant une fonction inconnue, pourvu que Ton prenne 



ds 



7t = ^ 



ce qui s'accorde avec les trois précédentes équations, qui donnent 



ds d 2 s dep 



Ttdï 2 "* dt' 



Ces équations sont précisément celles du mouvement d'un point 

 materie], qui doit se mouvoir sur une surface i^rrÜ, sous 

 Faction d'une force, pour laquelle J cp 2 est la fonction des forces, 

 et la fonction donnée (p est alors la vitesse de ce mouvement. 

 Réciproquement on conclut de 1&, comme dans Ie cas du point 

 libre, au principe de la moindre action pour Ie mouvement 

 d'un mobile sur une surface fixe, c'est-a-dire : lorsqu'un point ma- 

 tériel, assujetti a rester sur une surface fixe, est soumis a 1'action 

 de forces pour lesquelles 1'équation des forces vives a lieu, 1'in- 



tégrale jvds prise entre deux extréinités fixes sera génerale- 



ment moindre pour la courbe qu'il décrit, qu'elle ne Ie serait 

 pour toute autre courbe terminée aux mêmes points, et qu'il 

 décrirait sur cette surface, si Ton ajoutait des forces normales a 

 la trajectoire, ce qui ne change pas 1'expression pour la vitesse. 



Soit a trouver la brachistochrone pour un point pesant assu- 

 jetti a se mouvoir sur la surface 



F (at, y, z) = 0. 



